第5章极限定理初步 5.1内容框图 大数定理 中心极限定理 辛软大数定理 贝努里大数定理 林德贝格一列维极限定理 德莫哇佛一拉普拉斯极限定理 应用 5.2基本要求 (1)了解贝努里大数定理和辛钦大数定理 (2)理解并掌握独立同分布的中心极限定理及二项分布的中心极限定理. 5.3内容概要 1)大数定理 概率论中用来阐明随机试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都叫大数定理，这里大 数指试验次数足够多，试验的平均结果用随机变量表示就是∑ 5:,那么稳定性是指稳定 在哪里呢？当然是稳定在它的期望值 而稳定的含义就是以概率收敛，即一定 条件下有：对任意￡>0， P三-之小1将迪：当立E相时 分布(=1,2，…)且期望有限时，就得到辛钦大数定理 93
93 第 5 章 极限定理初步 5.1 内容框图 5.2 基本要求 （1）了解贝努里大数定理和辛钦大数定理. （2）理解并掌握独立同分布的中心极限定理及二项分布的中心极限定理. 5.3 内容概要 1） 大数定理 概率论中用来阐明随机试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都叫大数定理，这里大 数指试验次数足够多，试验的平均结果用随机变量表示就是 = n i i n 1 1 ，那么稳定性是指稳定 在哪里呢？当然是稳定在它的期望值 = n i i n E 1 1 ，而稳定的含义就是以概率收敛，即一定 条件下有：对任意 1 1 1 0,lim 1 1 = − = = → n i n i i i n n E n P 特别地，当 i 独立服从相同 分布（i=1,2，…）且期望有限时，就得到辛钦大数定理. 大数定理 中心极限定理 辛钦大数定理 贝努里大数定理 林德贝格－列维极限定理 德莫哇佛－拉普拉斯极限定理 应用
当5相互独立且服从相同的两点分布时，得到的就是贝努里大数定理 贝努里大数定理 设4，是在n次独立重复试验（n重贝努里试验)中辜件A发生的次数，p=P(A)是 每次试验时事件A发生的概率，则对任何ε>0，有 贝努里大数定理表明，频率作为概率的近似。 辛钦大数定理 设51,52，…，5m,…是相互独立的服从同一分布的随机变量序列，它们的数学期望是一 个有限值E5=4（i=1,2,…),则对任何8>0，有 贝努里大数定理是辛钦大数定理的特例，辛钦大数定理是贝努里大数定理的推广。 2)中心极限定理 中心极限定理就是用来阐述，一定条件下大量的随机变量的和近似服从正态分布的一系 列定理即和的标准化近似服从标准正态分布 2-42 N0,1). ② 我们在求解有关中心极限定理的各类问题时，主要是用到上面的这个式子特别地，当： (=1,2,…)独立同分布且E5,=μ，D5=02时，上式可化简为 2 ~N(0,1) √no 这就是林德贝格列维中心极限定理 当5，相互独立且都服从两点分布P{5,=1}=p,P{5,=0}=1一p时，上式可简化为 un -np -N(0,) np(1-p) g
94 当 i 相互独立且服从相同的两点分布时，得到的就是贝努里大数定理. 贝努里大数定理 设 n 是在 n 次独立重复试验（ n 重贝努里试验）中事件 A 发生的次数， p = P(A) 是 每次试验时事件 A 发生的概率，则对任何 0 ，有 lim =1 − → p n P n n 。 贝努里大数定理表明，频率作为概率的近似。 辛钦大数定理 设 1 , 2 , , n , 是相互独立的服从同一分布的随机变量序列，它们的数学期望是一 个有限值 E i = （ i = 1,2, ），则对任何 0 ，有 1 1 lim 1 = − = → n i i n n P 。 贝努里大数定理是辛钦大数定理的特例，辛钦大数定理是贝努里大数定理的推广。 2） 中心极限定理 中心极限定理就是用来阐述，一定条件下大量的随机变量的和近似服从正态分布的一系 列定理.即和的标准化近似服从标准正态分布. ~ (0,1) 1 1 1 N D E n i i n i n i i i − = = = . 我们在求解有关中心极限定理的各类问题时，主要是用到上面的这个式子.特别地，当 i （i=1,2,…)独立同分布且 E i =μ,D 1 =σ2 时，上式可化简为 ~ (0,1) 1 N n n i i = 这就是林德贝格列维中心极限定理. 当 i 相互独立且都服从两点分布 P{ i =1}=p,P{ i =0}=1－p 时，上式可简化为 ( ) ~ (0,1) 1 N np p np n − −
这就是二项分布的中心极限定理 在概率论中还有其他许多的中心极限定理.求解有关中心极限定理问题的关键就是要凑 出上面的式子（参见本章5.2节例2）， 林德贝格一列维中心极限定理（独立同分布中心极限定理） 设51,52，…，5，…是相互独立的服从同一分布的随机变量序列，它们的数学期望和方 差都存在，分别为E5,=4和D5,=o2>0(i=1,2,…),则对任何x,当n→∞时， 有 2 ≤X V2元1ed山=). 当n充分大时，近似有 2-u -≈N(0,1)。 ng? 德莫哇佛一拉普拉斯极限定理（二项分布中心极限定理） 若4n是n次独立重复试验(n重贝努里试验)中事件A发生的次数，0<p<1是事件 1在每次试验中发生的概率，g=1-P,p付)=。 x e2,则 J2π (1)对任意的有限区间[a,1,当a<-吧≤b及n→∞时，有 npq Piun=k Cpgk lim lim- 1 k-np 1→0 1 -p2-1, 2npq npqnpq 2mpq (2)对任何x,当n→oo时，有 ImP4。~p → ≤x7= npq 4n-吧一N0,)。 npq 95
95 这就是二项分布的中心极限定理. 在概率论中还有其他许多的中心极限定理.求解有关中心极限定理问题的关键就是要凑 出上面的式子（参见本章 5.2 节例 2）. 林德贝格-列维中心极限定理（独立同分布中心极限定理） 设 1 , 2 , , n , 是相互独立的服从同一分布的随机变量序列，它们的数学期望和方 差都存在，分别为 E i = 和 0 2 D i = （ i = 1,2, ），则对任何 x ，当 n → 时， 有 e d ( ) 2 1 lim 2 2 1 2 x t x n n P x t n i i n = = − − − = → 。 当 n 充分大时，近似有 2 1 n n n i i − = ～ N(0,1) 。 = P a b n i i 1 ≈ ( ) ( ) 2 2 n a n n b n − − − 。 德莫哇佛-拉普拉斯极限定理（二项分布中心极限定理） 若 n 是 n 次独立重复试验（ n 重贝努里试验）中事件 A 发生的次数， 0 p 1 是事件 A 在每次试验中发生的概率， q = 1− p ， 2 2 e 2 1 ( ) x x − = ，则 （1）对任意的有限区间 [a, b] ，当 b npq k np a − 及 n → 时，有 = − = → ( ) 1 { } lim npq k np npq P k n n 1 e 2 1 lim 2 ( ) 2 = − − − → npq k np k k n k n n npq C p q ； （2）对任何 x ，当 n → 时，有 − → x npq np P n n lim − − = x t e dt 2 1 2 2 = (x) 。 npq np n − ～ N(0,1)
德莫哇佛一拉普拉斯极限定理的一些应用 用正态分布近似计算二项分布的概率： PE≤对≈=)，Pa≤5≤b≈(b-吗)-Φ-四)。 npa npq npg 5.4自测题五 一、判断题（正确用“+”，错误用“一”) 1.设5,52，…5，…为一列相互独立的且均服从参数入=3的指数分布的随机变量，则 ▣2--0 >0) () 2.把一枚硬币抛n次，只要n充分大，正面向上发生的频率与0.5的误差就可以小于任意给 定的一个正数& () 3.设4n为n重贝努里试验中事件A发生的次数，p为事件A每次发生的概率，则当n充分 大时，有 台-小小--同司 () 4.把一枚硬币连抛2000次，根据中心极限定理，出现正面向上不超过1000次的概率约为 中0等于2 () 5.设，相互独立且5U1,)仁12，则m之=0 () m→on i=l 6.设为n重贝努里试验中事件A发生的次数，则当n很大时，近似服从正态分布. () 7.设儿，为抛一个骰子n次出现点数为5的次数，则m凸= () nn 6 8.设5，服从参数为入的普阿松分布，5，相互独立，则当n很大时， 之5近似服从正态分布 N(n,n22) () 9n重贝努里试验中，当n充分大时，事件A发生的频率与其发生的概率p的误差不超过' 的概率约为2l/Vp1-p)-1 () 号
96 德莫哇佛-拉普拉斯极限定理的一些应用 用正态分布近似计算二项分布的概率： P{ x}≈ ( ) npq x − np ， P{a b}≈ ( ) ( ) npq a np npq b np − − − 。 5.4 自测题五 一、 判断题（正确用“+”，错误用“－”） 1. 设 1 , 2 ,… n ,…为一列相互独立的且均服从参数λ=3 的指数分布的随机变量，则 0 3 1 1 lim 1 = − = → n i i n n P ( 0) . ( ) 2. 把一枚硬币抛 n 次，只要 n 充分大，正面向上发生的频率与 0.5 的误差就可以小于任意给 定的一个正数 . ( ) 3. 设 n 为 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数，p 为事件 A 每次发生的概率，则当 n 充分 大时，有 ( ) − − − p p n p n P n 1 2 1 . ( ) 4. 把一枚硬币连抛 2000 次，根据中心极限定理，出现正面向上不超过 1000 次的概率约为 Φ(0)等于 2 1 . ( ) 5. 设 i 相互独立且 i ~∪(-1,1) (i=1,2,…),则 0 1 lim 1 = = → n i i n n . ( ) 6. 设 为 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数，则当 n 很大时， 近似服从正态分布. ( ) 7. 设 5 n 为抛一个骰子 n 次出现点数为 5 的次数，则 6 1 lim 5 = → n n n . ( ) 8. 设 i 服从参数为λ的普阿松分布， i 相互独立，则当 n 很大时， = n i i 1 近似服从正态分布 ( ) 2 2 N n,n . ( ) 9. n 重贝努里试验中，当 n 充分大时，事件 A 发生的频率与其发生的概率 p 的误差不超过 n 1 的概率约为 2(1/ np(1− p))−1 . ( )
二、选择题 1.设4n为n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率， e为大于零的数， 则 (A)0 (B)1 ()2 2.设5,52，…独立同服从于指数分布E(入)，则( )正确 26-m (A)lim P i=l -≤x=Φ(x) (B)lim P i= ≤x=(x) n n - 5- (C)lim P ≤x =(x) (D)lim P i=l ≤x=D(x) √nz 3.设4n为n次独立重复试验中事件A出现的次数，p为事件A在每次试验中出现的概率， q=1-p,6为大于零的数， 则P怡- wm同1@-网】 (C)1 (D)0 4.设5U(-1,1)=1,2,)且相互独立，则()是不正确的 (A)5i,52,…5n,…序列服从大数定理 (B)51,52,…5m,…序列服从中心极限定理 (C) lim i=l <E =1(e>0)(D)m15=0 →on 5.设5，P(入)=1,2，)且相互独立，则对8>0有(). 97
97 二、 选择题 1. 设 n 为 n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率， ε为大于零的数，则 = − → p n P n n lim ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 1 (D) 2 −1 pq n 2. 设 1 , 2 ，…独立同服从于指数分布 E(λ)，则( )正确. (A) x (x) n n P n i i n = − = → 1 lim (B) x (x) n n P n i i n = − = → 1 lim (C) x (x) n P n i i n = − = → 1 lim (D) x (x) n n P n i i n = − = → 1 lim 3. 设 n 为 n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数，p 为事件 A 在每次试验中出现的概率， q = 1− p, 为大于零的数，则 − p n P n ( ). (A) 2 −1 pq n (B) − pq n 2 1 (C) 1 (D) 0 4. 设 i ~U(-1,1)(i=1,2,…)且相互独立，则（ ）是不正确的. （A） 1 , 2 ,… n ,…序列服从大数定理 （B） 1 , 2 ,… n ,…序列服从中心极限定理 （C） lim 1 1 = = → n P n i i n （ 0 ） (D) 0 1 lim 1 = = → n i i n n 5. 设 i ~P(λ)(i=1,2,…)且相互独立，则对 ＞0 有（ ）