第4章随机变量的数学特征 4.1内容框图 数字特征 数学期望 方差 矩 协方差 相关系数 重要分布的期望和方差 4.2基本要求 (1)理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算 (2)熟记二项分布、普阿松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望和方差 (3)会算随机变量函数的数学期望 (4)了解矩、协方差与相关系数的概念、性质和计算 4.3内容概要 1)一维随机变量的数学期望 设5是离散型随机变量，概率分布为P{5=x,}(i=1,2,…)。当级数 ExP=x 绝对收敛时，称∑x,P5=x}为5的数学期望，记为E5或E(⑤)，即 E6-xPx i=1 若∑x,P传=x}发散，则称5的数学期望不存在
第 4 章 随机变量的数学特征 4.1 内容框图 4.2 基本要求 （1） 理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算. （2） 熟记二项分布、普阿松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望和方差. （3） 会算随机变量函数的数学期望. （4） 了解矩、协方差与相关系数的概念、性质和计算. 4.3 内容概要 1) 一维随机变量的数学期望 设 是离散型随机变量，概率分布为 { }i P = x （ i = 1, 2, ）。当级数 = = 1 { } i i i x P x 绝对收敛时，称 = = 1 { } i i i x P x 为 的数学期望，记为 E 或 E( ) ，即 E = = = 1 { } i i i x P x 。 若 = = 1 { } i i i x P x 发散，则称 的数学期望不存在。 数字特征 数学期望 方差 矩 协方差 相关系数 重要分布的期望和方差
设5是连续型随机变量，概率窑度为p()。当x(xtr绝对收敛时，称 口xp(x)dr为5的数学期量，记为E5,即 Exp(x)dx. 若(x)dr发散，则称5的数学期望不存在。 2)随机变量函数的数学期望 设7为随机变量5的函数，即刀=f(5),其中f为连续的实值函数。 (1)若5为离散型随机变量，概率分布为P{5=x,}（i=1,2,…),则当 三化PG=绝对收敏时，有 En=f(5)= 2fx,)P5=x. (2)若5为连续型随机变量，概率密度为(x),则当广f(x)p(x)d绝对收敛时，有 En=Ef()=f(x)(x)dx. 3)数学期望的性质 (1) 若5是随机变量，b,c是常量，则E(b5+c)=bE5+c。 推论1若c是常量，则Ec=c。 推论2若5是随机变量，c是常量，则E(5+c)=E5+c。 推论3若5是随机变量，c是常量，则E(c)=cE5。 (2)若f()和g(5)都是随机变量5的函数，则ELf(5)±g(5】=Ef()±Eg(5). (3) 若随机变量5的取值落在常量α，b之间，则其数学期望也必落在α，b之间，即 若a≤5≤b,则a≤E5≤b。 4)一维随机变量的方差 若E(5-E)存在，称它为随机变量5的方差，记为D5或Var(5),即
2 设 是连续型随机变量，概率密度为 (x) 。当 + − x(x)dx 绝对收敛时，称 + − x(x)dx 为 的数学期望，记为 E ，即 E = + − x(x)dx 。 若 + − x(x)dx 发散，则称 的数学期望不存在。 2) 随机变量函数的数学期望 设 为随机变量 的函数，即 = f ( ) ，其中 f 为连续的实值函数。 （ 1 ） 若 为离散型随机变量，概率分布为 { }i P = x （ i = 1, 2, ） ，则当 = = 1 ( ) { } i i i f x P x 绝对收敛时，有 E = Ef ( ) = = = 1 ( ) { } i i i f x P x 。 （2）若 为连续型随机变量，概率密度为 (x) ，则当 + − f (x)(x)dx 绝对收敛时，有 E = Ef ( ) = + − f (x)(x)dx 。 3) 数学期望的性质 (1) 若 是随机变量， b,c 是常量，则 E(b + c) = bE + c 。 推论 1 若 c 是常量，则 Ec = c 。 推论 2 若 是随机变量， c 是常量，则 E( + c) = E + c 。 推论 3 若 是随机变量， c 是常量，则 E(c ) = cE 。 (.2) 若 f () 和 g() 都是随机变量 的函数，则 E[ f ( ) g( )] = Ef ( ) Eg( ) . (.3) 若随机变量 的取值落在常量 a,b 之间，则其数学期望也必落在 a,b 之间，即 若 a b ，则 a E b 。 4) 一维随机变量的方差 若 2 E( − E ) 存在，称它为随机变量 的方差，记为 D 或 Var( ) ，即
D5=E(5-E5)2。 方差的正的平方根√D5,称为标准差或均方差，记为O:,即 0=DE 。 随机变量5的方差可由下列公式求出： D5=E52-(E5)2。 5)方差的性质 ()若5是随机变量，b,c是常量，则D(b5+c)=b2D5。 推论1若c是常量，则Dc=0。 推论2若5是随机变量，c是常量，则D(5+c)=D5。 推论3若5是随机变量，c是常量，则D(c)=c2D5。 设随机变量5的均值为E5,方差为D5,称*=5一E延为5的标准化随机变量。求 DE 5*的数学期望E5*和方差DE*。 (2)若5是随机变量，c是任意常量，则D5≤E(5-c)2。当且仅当c=E5时， E(5-c)2达到最小值D5。 (3)切比雪夫(9m6 LlweB)不等式 对于任何具有有限方差的随机变量5，都有P5-B5引上≤，其中G是红- 正数。 (4)如果随机变量5的方差为零，则随机变量5以概率1取值为E5。即如果D5=0, 则有 P{5=E5}=1。 6)一维随机变量的矩 称E(ξ“)为随机变量5的k阶原点矩，简称k阶矩。称E(ξ-E)为随机变量5 的k阶中心矩。 显然：1阶原点矩就是数学期望E5:2阶中心矩E(E-EE)2就是方差D5
3 D = 2 E( − E ) 。 方差的正的平方根 D ，称为标准差或均方差，记为 ，即 = D 。 随机变量 的方差可由下列公式求出： D = 2 2 E − (E) 。 5) 方差的性质 (1) 若 是随机变量， b,c 是常量，则 D b c b D 2 ( + ) = 。 推论 1 若 c 是常量，则 Dc = 0 。 推论 2 若 是随机变量， c 是常量，则 D( + c) = D 。 推论 3 若 是随机变量， c 是常量，则 D c c D 2 ( ) = 。 设随机变量 的均值为 E ，方差为 D ，称 D − E * = 为 的标准化随机变量。求 * 的数学期望 E * 和方差 D *。 (2) 若 是随机变量， c 是任意常量，则 2 D E( − c) 。当且仅当 c = E 时， 2 E( − c) 达到最小值 D 。 (3)切比雪夫（Чибышев）不等式 对于任何具有有限方差的随机变量 ，都有 2 { } D P − E ，其中 是任一 正数。 (4) 如果随机变量 的方差为零，则随机变量 以概率 1 取值为 E 。即如果 D = 0 ， 则有 P{ = E} = 1。 6)一维随机变量的矩 称 ( ) k E 为随机变量 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。称 k E( − E ) 为随机变量 的 k 阶中心矩。 显然：1 阶原点矩就是数学期望 E ；2 阶中心矩 2 E( − E ) 就是方差 D
7)一些常用分布的数学期望和方差 表1常用离散型和连续型分布 分布 分布 数学 概率分布或概率密度 名称 记号 期望 方差 0-1 P=k)=p(1-p)-k 分布 b(1,p) p p(1-p) k=0,1 二项 P{5=k}=Cp*I-p)"- np 分布 b(n,p) np(1-p) k=0,1,…,n 普阿松 P() 君e 分布 k=012,… 几何 P=k)=(1-p)p 分布 g(p) k=1,2,… 学 P{5=k}= ChC 超几何 H(n,M,N) C nM 分布 N N N-1 k=0,1,…,n 1 均匀 U(a,b) a≤x≤b a+b (b-a)2 分布 p(x)=3b-a 0 其它 2 12 指数 Ae-ix x>0 E(1) p(x)= 分布 0 x≤0 1-元 是 正态 分布 N(4,o2) p(x)= e 62 V2元 4
4 7)一些常用分布的数学期望和方差 表 1 常用离散型和连续型分布 分布 名称 分布 记号 概率分布或概率密度 数学 期望 方差 0 −1 分布 b( 1, p) k k P k p p − = = − 1 { } (1 ) k = 0, 1 p p (1− p) 二项 分布 b(n, p) k k n k P k Cn p p − { = } = (1− ) k = 0, 1, , n n p n p (1− p) 普阿松 分布 P( ) − = = e k P k k ! { } k = 0, 1, 2, 几何 分布 g( p ) P k p p k 1 { } (1 ) − = = − k = 1, 2, p 1 2 1 p − p 超几何 分布 H(n, M , N) n N n k N M k M C C C P k − − { = } = k = 0, 1, , n N n M 1 (1 ) − − − N N n N M N nM 均匀 分布 U(a, b) = − 0 其它 1 ( ) a x b x b a 2 a + b 12 ( ) 2 b − a 指数 分布 E( ) = − 0 0 0 ( ) x e x x x 1 2 1 正态 分布 ( , ) 2 N 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) − − = x x e 2
e月 x>0 x2 x2(n) p(x)= ir 2n 分布 0 x≤0 0 1分布 p(x)= n t(n) (n>1) (n>2) nπr n n-2 2 雕”-1 2n2(m+n-2) m2n2x2 x>0 n F分布 F(m,n) r%r(哈omx+m7 十打 n-2 m(n-2)2(n-4) p(x)= 2 (n>2) 0 x≤0 (n>4) 8) 二维随机变量的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 设f(5,)是5，n的函数，f(5,)的数学期望记为Ef(5,7)。 (1)如果（5,7)为二维离散型随机变量，联合概率分布为 P{5=x,7=y}(i,j=1,2,…), 则当22，y)P5=,刀=，绝对收数时，有 Ef(5,)= 221x,y,)PE=x,0=y i=l jal (2)如果（5，η)为二维连续型随机变量，联合概率密度为 p(x,y),-0<x<+0,-0<y<+0, 则当fx,ypx,y绝对收敛时，有 Ef作，n)=fxox,yd。 二维随机变量中5，门各自的数学期望和方差 (1)把5，)，52,72看作f(5,)的特殊情形，用求Ef(5,)的公式求出E5,En, J
5 2 分布 ( ) 2 n = − − 0 0 0 ) 2 2 ( 1 ( ) 2 1 2 2 x x e x n x n x n n 2n t 分布 t ( n ) 2 2 1 (1 ) ) 2 ( ) 2 1 ( ( ) + − + + = n n x n n n x 0 (n 1) n − 2 n (n 2) F 分布 F(m, n) + + = + − 0 0 0 ( ) ) 2 ) ( 2 ( ) 2 ( ( ) 2 1 2 2 2 x x mx n m n x m n m n x m n m n m n − 2 n (n 2) ( 2) ( 4) 2 ( 2) 2 2 − − + − m n n n m n (n 4) 8) 二维随机变量的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 设 f ( ,) 是 , 的函数， f ( ,) 的数学期望记为 Ef (,) 。 （1）如果（ , ）为二维离散型随机变量，联合概率分布为 { , } i j P = x = y （ i, j = 1, 2, ） ， 则当 = = = = 1 1 ( , ) { , } i j i j i j f x y P x y 绝对收敛时，有 Ef (,) = = = = = 1 1 ( , ) { , } i j i j i j f x y P x y 。 （2）如果（ , ）为二维连续型随机变量，联合概率密度为 (x, y) ， − x +， − y +， 则当 + − + − f (x, y)(x, y)dxdy 绝对收敛时，有 Ef (,) = + − + − f (x, y)(x, y)dxdy 。 二维随机变量中 , 各自的数学期望和方差 （1）把 ,, 2 2 , 看作 f ( ,) 的特殊情形，用求 Ef (,) 的公式求出 E , E