抽象代数3 YUNCHENGUNIVERSITY 运城学院
抽 象 代 数3 运 城 学 院
3.1群同态与同构的简单性质 1.理解同态、同构的定义 2.掌握同态的两个群之间的关系 3.理解在同构意义下6阶群只有6阶循环群及S3
3.1 群同态与同构的简单性质 1. 理解同态、同构的定义 2. 掌握同态的两个群之间的关系 3. 理解在同构意义下6阶群只有6阶循环群及S3
3.1群同态与同构的简单性质 设G和G是两个群，如果有一个由G到G的映射 p保持运算，即a,b∈G,有p(ab)=p(a)p(b),则 称φ是群G到群G的一个同态映射。 如果还是满射，称其为群G到G的满同态映射， 此时称群G与G同态，记作G~G 如果0还是双射，称其为群G到G的同构映射， 此时称群G与G同构，记作G三G。 自同态映射 自同构映射
3.1 群同态与同构的简单性质 设G和 是两个群，如果有一个由G到 的映射 φ保持运算，即 ，有φ(ab)=φ(a)φ(b)，则 称φ是群G到群 的一个同态映射。 如果φ还是满射，称其为群G到 的满同态映射， 此时称群G与 同态，记作 。 如果φ还是双射，称其为群G到 的同构映射， 此时称群G与 同构，记作 。 自同态映射 自同构映射 G G a b G , G G G G GG G G G
3.1群同态与同构的简单性质 定理：设G是一个群，G是一个代数系统，如 果G~G,则G是群。 两个代数系统同态， 如果前面的是群，则后面的也是群
3.1 群同态与同构的简单性质 定理：设G是一个群， 是一个代数系统，如 果 ，则 是群。 两个代数系统同态， 如果前面的是群，则后面的也是群。 G G G G
3.1群同态与同构的简单性质 )非满同态映射时，不一定有同样的结论。 2)非满同态映射时，可以限制成满同态映射，即 限制成p':G→0(G) x→p(x) 3)推论：设φ是群G到G的同态映射，则G的单 位元的像是G的单位元，G中元素a的逆元的像 是a的像的逆元。即同态映射将单位元映成单位 元，将互逆元映成互逆的元，p(a)=o(a)
3.1 群同态与同构的简单性质 1) 非满同态映射时，不一定有同样的结论。 2) 非满同态映射时，可以限制成满同态映射，即 限制成 3) 推论：设φ是群G到 的同态映射，则G的单 位元的像是 的单位元，G中元素a的逆元的像 是a的像的逆元。即同态映射将单位元映成单位 元，将互逆元映成互逆的元， 。 : ( ) ( ) G G x x → → G G 1 1 ( ) ( ) a a − − =