抽象代数 2.4~2.6 YUNCHENGUNIVERSITY 运城学院
抽 象 代 数 2.4~2.6 运 城 学 院
2.4循环群 1.理解生成子群、生成系、循环群的定义 2.能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元 3.理解在同构意义下，循环群只有两类 4.掌握循环群子群的情况
2.4 循环群 1. 理解生成子群、生成系、循环群的定义 2. 能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元 3. 理解在同构意义下，循环群只有两类 4. 掌握循环群子群的情况
2.4循环群 设M是群G的非空子集， 则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个， G中所有包含M的子群的交记作<M>,则 <M>≤G,且M≤(M〉。 易知G中任意一个包含M的子群必然包含<M>, 所以<M>是G中包含M的最小子群
2.4 循环群 设M是群G的非空子集， 则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个， G中所有包含M的子群的交记作<M>，则 <M>≤G，且 。 易知G中任意一个包含M的子群必然包含<M>， 所以<M>是G中包含M的最小子群。 M M
2.4循环群 定义：称<M>为群G中由子集M生成的子群，并 称M是<M>的一个生成系。 1)一个群或子群可能有很多个生成系。 2)M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当 M={al,a2,,an}时，<M>也记为<al,a2,, an>,特别M={a}时，记<M>=<a>,这就是循环 群
2.4 循环群 定义：称<M>为群G中由子集M生成的子群，并 称M是<M>的一个生成系。 1) 一个群或子群可能有很多个生成系。 2) M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当 M={a1, a2, …, an}时，<M>也记为<a1, a2, …, an>，特别M={a}时，记<M>=<a>，这就是循环 群
2.4循环群 定义：如果群G可以由一个元素a生成，即 G=<a>,则称G为由a生成的循环群，并称a为G 的一个生成元。 G=(a〉={…，a2,a,a°=e,a,a2,…} 若群的运算是加法 G=(a)={…,-2a,-a,0a=0,a,2a,…}
2.4 循环群 定义：如果群G可以由一个元素a生成，即 G=<a>，则称G为由a生成的循环群，并称a为G 的一个生成元。 若群的运算是加法 2 1 0 2 G a a a a e a a = { , , , , , } − − = = ， G a a a a a a = ={ 2 , , 0 0, , 2 , } − − =