第2章一维随机变量 2.1内容框图 一维随机变量 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 分布函数 随机变量函数的分 2.2基本要求 (1)理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质。 (2)理解离散型随机变量及其概率分布的概念，会求简单的离散概率模型中随机变量的概率 分布，掌握常用分布及其特性，并能用以解决具体问题。 (3)理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质及概率密度函 数与分布函数的关系，能运用常用分布及其特性解决具体问题。 (4)会根据随机变量的概率分布求其简单函数的概率分布。 2.3内容概要 1)随机变量的分布函数： (I)定义：随机变量5的分布函数F(x)P{5≤x,x∈(-∞，+∞)。 (2)性质：①F(x)是单调不减函数：x2>x一F(x)之F(x): ②F(x)是有界函数：0≤F(x)≤1，且F(+∞=1，F-∞0： ③F(x)是右连续的：F(x+O)=F(x)。 (3)用F(x)表示概率： ①P{5>x}=1-F) ②P{a<5≤b}=Fb)-Fa) ③P{5<x}=F(x-0)
第 2 章 一维随机变量 2.1 内容框图 一维随机变量 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 分布函数 随机变量函数的分布 2.2 基本要求 (1) 理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质。 (2) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，会求简单的离散概率模型中随机变量的概率 分布，掌握常用分布及其特性，并能用以解决具体问题。 (3) 理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质及概率密度函 数与分布函数的关系，能运用常用分布及其特性解决具体问题。 (4) 会根据随机变量的概率分布求其简单函数的概率分布。 2.3 内容概要 1）随机变量的分布函数： (1) 定义：随机变量 的分布函数 F x P x ( ) { } ，x∈（-∞，+∞）。 (2) 性质：①F(x)是单调不减函数： 2 1 2 1 x x F x F x ( ) ( ) ； ②F(x)是有界函数：0≤F(x)≤1，且 F(+∞)=1，F(-∞)=0； ③F(x)是右连续的：F(x+0) = F(x)。 (3) 用 F(x)表示概率： ① P x F x = − 1 ( ) ② P a b F b F a = − ( ) ( ) ③ P x = F x( 0) −
④P{5=x}=F(x)-F(x-O) 2)离散型随机变量： ()定义：所有可能取值为有限多个或可列无穷多个的随机变量称为离散型随机变量。 (2)概率分布：P{5=x}=P,(=1,2,…） 或表示为： ξxx2…x。… P传=xAB2…P.… 满足： ①p≥0(=1,2，…)： ② 2A,1 (③)分布函数F)=∑P,· 注离散型随机变量ξ的分布函数F(x)是阶梯状的，5的每个可能取值点都是Fx)的跳跃 间断点，而在其他点处F(x)连续。 3)连续型随机变量 (I)定义：设随机变量5的分布函数为F(x),若存在非负函数(x),使对一切实数x成立 F(x)= x)ds 则称5为连续型随机变量，(x)称为5的概率密度函数。 (2)性质： ①p(x)≥0： ②rx=l: @P{a<5≤}=k: ④在p(x)的连续点处有F'(x)=p(x): ⑤P{5=a}=0。 注①连续型随机变量ξ的分布函数F(x)在整个实数域上连续。 ②由性质⑤可得，对连续型随机变量有 P{a<5≤b}=P{a<5<b} =P{a≤5<b}=P{a≤5≤b}: -Jmx)ds ③若已知5的概率密度p(x)要求分布函数F(x),用积分法： F(x)=Jxd本 若已知5的分布函数F(x)要求概率密度p(x),用微分法：
2 ④ P x F x F x = = − − ( ) ( 0) 2）离散型随机变量： (1) 定义：所有可能取值为有限多个或可列无穷多个的随机变量称为离散型随机变量。 (2) 概率分布： { } P x p i i = = （i=1,2,…） 或表示为： 1 2 1 2 { } n i n x x x P x p p p = 满足： ① pi≥0（i=1,2,…）； ② 1 n i i p = =1。 (3) 分布函数 F(x) = i i x x p 。 注 离散型随机变量 的分布函数 F(x)是阶梯状的， 的每个可能取值点都是 F(x)的跳跃 间断点，而在其他点处 F(x)连续。 3）连续型随机变量 (1) 定义：设随机变量 的分布函数为 F(x)，若存在非负函数 φ(x)，使对一切实数 x 成立 F(x)= ( ) x x dx − 则称 为连续型随机变量，φ(x) 称为 的概率密度函数。 (2) 性质： ① φ(x) ≥0； ② ( ) 1 x dx + − = ； ③ P a b ＝ ( ) b a x dx ； ④在 φ(x)的连续点处有 F x x ( ) ( ) = ； ⑤ P a { } 0 = = 。 注① 连续型随机变量 的分布函数 F(x)在整个实数域上连续。 ② 由性质⑤可得，对连续型随机变量有 ( ) b a P a b P a b P a b P a b x dx = = = = ； ③ 若已知 的概率密度 φ(x)要求分布函数 F(x)，用积分法： ( ) ( ) x F x x dx − = 若已知 的分布函数 F(x) 要求概率密度 φ(x)，用微分法：
F'(x)=p(x)· 4)常用分布： (1)二项分布：5~b(n,p) P{5=k}=Cp(1-p)m-k,k=0,1,2,…,n:p>0。 注①在n重伯努利试验中，若p为事件A在每次试验中发生的概率，则n次试验中事 件A发生的次数5~b(n,p)。 ②特别地称b(1,p)为0-1分布或二点分布。 (2)普阿松分布：5~P(2) P{5=k}= e,k=0,1,2,…:1>0. 注由普阿松定理可知，若5~b(n,p),则当n较大，p较小时，可有近似计算公式 P45==C5p-p≈2e,其中p kl (3)几何分布：5~g(P) P{5=k}=p1-p)-,k=1,2,:p>0。 注在伯努利试验序列中，若p为事件A在每次试验中发生的概率，则等待事件A首次 发生所需的试验次数5~g(p)。 (4)均匀分布：5~U(a,b),概率密度p(x)与分布函数F(x)分别为 0 x<a a<x<b p(x)= b-a F(x)= x-a a≤x<b。 0 其他 b-a 1 x≥b (S)指数分布：苫~P(),概率密度p(x)与分布函数F(x)分别为 2ex>0 F(x)=1-e x20 p(x)= 0x≤0i 其中>0。 x<09 (6)正态分布：5~N(4,σ2)，概率密度为 1-2 p(x)= e 202 ,-0<x<+0:其中-0<4<+0,0>0. √2πo N(0,1)称为标准正态分布，其分布函数记为Φ(x),即 Φ(x)= 性质：①Φ(0)=0.5：
3 F x x ( ) ( ) = 。 4）常用分布： (1) 二项分布： ~ b(n, p) { } k P k Cn = = (1 ) k n k p p − − ，k = 0，1，2，…，n；p>0。 注① 在 n 重伯努利试验中，若 p 为事件 A 在每次试验中发生的概率，则 n 次试验中事 件 A 发生的次数 ~ b(n,p)。 ② 特别地称 b(1，p)为 0-1 分布或二点分布。 (2) 普阿松分布： ~ ( ) P { } ! P k e k − = = k ，k = 0，1，2，…；λ >0。 注 由普阿松定理可知，若 ~ b(n, p)，则当 n 较大，p 较小时，可有近似计算公式 { } k P k Cn = = (1 ) k n k p p − − ≈ ! e k − k ，其中 λ=np (3) 几何分布： ~ ( ) g p 1 { } (1 )k P k p p − = = − ，k = 1，2，…；p>0。 注 在伯努利试验序列中，若 p 为事件 A 在每次试验中发生的概率，则等待事件 A 首次 发生所需的试验次数 ~ ( ) g p 。 （4）均匀分布： ~ ( , ) U a b ，概率密度 ( ) x 与分布函数 F(x)分别为 1 ( ) 0 a x b x b a = − 其他 ； 0 ( ) 1 x a x a F x a x b b a x b − = − 。 （5) 指数分布： ~ ( ) P ，概率密度 ( ) x 与分布函数 F(x)分别为 0 ( ) 0 0 x e x x x − = ； 1 0 ( ) 0 0 x e x F x x − − = 。 其中 λ>0。 (6) 正态分布： 2 ~ ( , ) N ，概率密度为 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x x e − − = ， − + x ；其中 − + , 0. N(0，1)称为标准正态分布，其分布函数记为 (x)，即 2 2 1 ( ) 2 x x x e dx − − = 性质：① (0)=0.5；
②D(-x)=1-(x),，Φ(x)的值可查表得到。 ③若专~N(u,o3),则其分布函数FD(X-凸)，从而有 P{a<5≤b}=Fb)-F(a）=D(b-凸)-Φa-凸. ④若5~N(4,o2),则n=a5+b(a≠0)~N(a4+b,ao2)。 特别地7=5-业一N0,1)。 5)随机变量的函数的分布 (1)离散型随机变量的函数的分布 设随机变量E的概率分布为P{5=x}=P,(i=1,2,)。若n=f(⑤)，则n的概率分布 P初=y,}=∑P传=x,j=1,2,） f(x=y (2)连续型随机变量的函数的分布 设：是连续型随机变量，它的概率密度为p(x),若f(x)是连续可导函数，则n=f(5)仍 是连续型随机变量，求n的概率密度方法： ①直接求：先利用等价事件的概率将F,(y)用5的分布函数表示，再求导得到 0时香0. ②套公式：当=f(x)是严格单调的可微函数时， ,)=9,f广[f(y] 2.4自测题二 一、判断题（对用“+”，错用“-”） (0,2可以作为某个离散型随机变量的概率分布。 1p-p) () 2.P5=}=二，k=12,为随机变量5的概率密度的必要条件是≥2。 () 3.某射击手五次射击中至少命中一次的概率为出，若他每次射击的命中率都相 243 同，则这射手在五次射击中命中目标的次数：一b5,。 ()
4 ② − = − ( ) 1 ( ) x x ， (x)的值可查表得到。 ③若 2 ~ ( , ) N ，则其分布函数 F(x)= ( ) x − ，从而有 { } ( ) ( ) ( ) ( ) b a P a b F b F a − − = − = − 。 ④若 2 ~ ( , ) N ，则 = + a b a( 0) ~ 2 2 N a b a ( , ) + 。 特别地 N(0,1) − = 。 5）随机变量的函数的分布 (1)离散型随机变量的函数的分布 设随机变量 的概率分布为 { } ,( 1,2, ) P x p i i i = = = 。若 = f ( ) ，则 的概率分布 ( ) { } { },( 1,2, ) i j j i f x y P y P x j = = = = = 。 (2)连续型随机变量的函数的分布 设 是连续型随机变量，它的概率密度为 ( ) x ，若 f (x)是连续可导函数，则 = f ( ) 仍 是连续型随机变量，求 的概率密度方法： ①直接求：先利用等价事件的概率将 F y( ) 用 的分布函数表示，再求导得到 ( ) y = ( ) d F y dy 。 ②套公式：当 y=f (x)是严格单调的可微函数时， ( ) 1 1 ( ) [ ( )] y f y f y − − = 2.4 自测题二 一、判断题（对用“+”，错用“ − ”） 1. 0 2 p p 1 − 可以作为某个离散型随机变量的概率分布。 （ ） 2. 2 { } ,( 1,2, ) k k P x k p = = = 为随机变量 的概率密度的必要条件是 2 k p 。 （ ） 3. 某射击手五次射击中至少命中一次的概率为 211 243 ，若他每次射击的命中率都相 同，则这射手在五次射击中命中目标的次数 2 ~ (5, ) 3 b 。 （ ）
4.若某人射击的命中率为0.2，则他命中目标时己经射击的次数E为k的概率 P{5=k}=0.20.8)-1。 () 5.随机变量的分布函数不一定有界。 () 6.连续型随机变量的概率密度(x)一定在定义域内单调不减。 () 11 7.函数F)-2+元arctan.x(o<x<+o)可以作为某个随机变量的分布函数。 () 8.若5为连续型随机变量，则有P{a≤5≤b}=P{a<5<b}。 () 9.设随机变量5的分布函数为F(x),则必有P{a≤5≤b;=F(b)-F(a)。() 10.若随机变量的分布函数F(x)只有两个间断点，则5一定不是连续型随机变 量。 () 11.设随机变量5~N(4,σ2)，则概率PE≤1+随σ的增大而减小。() 12.如果随机变量5的密度函数为 (x 0≤x≤1 p(x)= 2-x1≤x≤2 0 其他 则P5≤15=2-xh。 () 13.设随机变量5具有概率密度p(x)= 0 其他 14.当7=5-业N0,1)时，5一定服从N4,o2)。 () 15.若随机变量5~U(0,1),则7=25+1~U(1,3)。 () 二、填空题 1.己知离散型随机变量5的概率分布如下： 5 -2-1012 P(E=xk3a 6 如a 则a= 2.设随机变量的概率密度为f(x)= Ae-xx≥0 则4= 0x<0 J
5 4.若某人射击的命中率为 0.2，则他命中目标时已经射击的次数 为 k 的概率 1 { } 0.2(0.8)k P k − = = 。 （ ） 5. 随机变量的分布函数不一定有界。 （ ） 6.连续型随机变量的概率密度 ( ) x 一定在定义域内单调不减。 （ ） 7.函数 1 1 ( ) arctan ( ) 2 F x x x = + − + 可以作为某个随机变量的分布函数。 （ ） 8.若 为连续型随机变量，则有 P a b P a b { } { } = 。 （ ） 9.设随机变量 的分布函数为 F x( ) ，则必有 P a b F b F a { } ( ) ( ) = − 。 （ ） 10.若随机变量 的分布函数 F x( ) 只有两个间断点，则 一定不是连续型随机变 量。 （ ） 11.设随机变量 2 ~ ( , ) N ，则概率 P{ 1 } + 随 的增大而减小。 （ ） 12.如果随机变量 的密度函数为 0 1 ( ) 2 1 2 0 x x x x x = − 其他 则 1.5 0 P x dx { 1.5} (2 ) = − 。 （ ） 13.设随机变量 具有概率密度 2 1 ( ) 1 0 A x x x = − 其他 ,则 1 1 1 2 2 3 P − = 。 （ ） 14.当 ~ (0,1) N − = 时， 一定服从 2 N( , ) 。 （ ） 15.若随机变量 ~ (0,1) U ，则 = + 2 1 ~ (1,3) U 。 （ ） 二、填空题 1. 已知离散型随机变量 的概率分布如下: 2 1 0 1 2 1 11 { } 3 3 6 30 P xk a a a − − = 则 a =________. 2.设随机变量的概率密度为 0 ( ) 0 0 x Ae x f x x − = ，则 A= _______