江画工太猩院 第四节 多元复合函数的 求导法则
江西理工大学理学院 第四节 多元复合函数的 求导法则
江画工太猩院 链式法则 定理如果函数u=如(及v=y(t)都在点可 导,函数乙=f(,v在对应点(u,)具有连续偏导 数则复合函数z=∫1!(t),y()在对应点可导, 且其导数可用下列公式计算: dz az du oz dy dt ou dt oy dt 证设t获得增量Mt, 则Δn=+△r)-(,△=v(+△t)-y();
江西理工大学理学院 证 则 ∆u = φ(t + ∆t) − φ(t), ∆v =ψ (t + ∆t) −ψ (t); 一、链式法则 定理 如果函数u = φ(t)及v =ψ (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导 数，则复合函数z = f [φ(t),ψ (t)]在对应点t可导， 且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = ． 设 t 获得增量 ∆t
江画工太猩院 由于函数乙=∫(u,ν)在点(,y)有连续偏导数 0,0 △=。M+△+6△+62△, ou 当△→>0,△v→>0时,61→>0,62→>0 △?MnOz△v△u△v 8 At ou at dy atAtat 当Mt→0时,△→0,△y→0 △uLu△pcv △tdt △tt
江西理工大学理学院 由于函数z = f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z ∆ + ∆ + ∆ ∂∂ ∆ + ∂∂ ∆ = ε ε 当∆u → 0，∆v → 0时， 0 ε 1 → ， 0 ε 2 → t v t u t v v z t u u z t z ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∂ ∂ + ∆ ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ ∆ 1 2 ε ε 当∆t → 0时， ∆u → 0，∆v → 0 , dt du t u → ∆ ∆ , dt dv t v → ∆ ∆
江画工太猩院 d z. a az du az dv =lim ttM-→0△ t du dt dv dt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 du oz du a dy az dw 如 dt au dt ay dt ow dt 以上公式中的导数称为全导数 d t
江西理工大学理学院 lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = ∆ ∆ = ∆ → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw wz dt dv vz dt du uz dt dz ∂∂ + ∂∂ + ∂∂ = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
江画工太猩院 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况:z=∫|d(x,y,v(x,y) 如果=φ(x,y)及ν=y(x,y)都在点(x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=∫(,y)在对应 点(,)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫1!(x,y),(x,y)在对应点(x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 az Oz au a ay aa au az ay ax au ax av ar Oy Ou dy Ov ay
江西理工大学理学院 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f [φ( x , y),ψ ( x , y)]. 如果 u = φ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y )都在点 ( x , y ) 具有对 x 和 y的偏导数，且函数 z = f ( u , v )在对应 点 ( u , v )具有连续偏导数，则复合函数 z = f [φ( x , y),ψ ( x , y)]在对应点 ( x , y )的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， y v v z y u u z y z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂