江画工太猩院 第三节 全微分及其应用
江西理工大学理学院 第三节 全微分及其应用
江西理工大学理学院 全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+,y)-f(x,y)(x,y) f(x,y+ Ay)-(x,)f (x, y) 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分
江西理工大学理学院 f (x + ∆x, y) − f (x, y) f x y x ≈ x ( , )∆ f (x, y + ∆y) − f (x, y) f x y y ≈ y ( , )∆ 二元函数 对x 和对 y的偏微分 二元函数 对x和对y的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义
江画工太猩院 全增量的概念 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内 有定义,并设P(x+Ax,y+4y)为这邻域内的 任意一点,则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+Δy)-f∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,Ay的全增 量,记为Δ, 即Δz=f(x+△x,y+Δy)-f(x,y
江西理工大学理学院 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P′(x + ∆x, y + ∆y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量∆x,∆y的全增 量，记为∆z， 即 ∆z= f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) 全增量的概念
江画工太猩院 全微分的定义 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=∫(x+Ax,y+4y)-∫(x,y)可以表示为 △z=AΔx+BAy+0(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关,p=△x)2+(4y)2 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分,记为,即dz=A△x+B△y
江西理工大学理学院 如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的全增量 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)可以表示为 ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ )，其中A, B不依赖于 ∆x,∆y而仅与x, y有关， 2 2 ρ = (∆x) + (∆y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y)可微分， A∆x + B∆y称为函数z = f ( x, y )在点(x, y)的 全微分，记为dz，即 dz=A∆x + B∆y. 全微分的定义
江画猩工式塑辱院 函数若在某区域D内各点处处可微分,则 称这函数在D内可微分 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续 事实上Δ=Ax+By+(p),Iim△z=0, p→0 im∫(x+Δx,y+4y)=limf(x,y)+△z p-0 △y-0 f(x, y) 故函数乙=∫(x,y)在点(x,y)处连续
江西理工大学理学院 函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则 称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ ), lim 0, 0 ∆ = → z ρ lim ( , ) 0 0 f x x y y y x + ∆ + ∆ ∆ → ∆ → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + ∆z ρ→ = f (x, y) 故函数z = f ( x, y)在点( x, y)处连续