江画工太猩院 第五节 隐画数的求导法则 偏导数的几何应用()
江西理工大学理学院 偏导数的几何应用 ( 一 ) 隐函数的求导法则 第五节
江西理工大学理学院 、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(xy)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x,y)=0, F(,y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x,y)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=f(x),它满足条件y=f(x),并 有 dy dx FF y 隐函数的求导公式
江西理工大学理学院 1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 Fy x0 y0 ≠ ，则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f (x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并 有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式
江画工太猩院 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值. 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F2=2x,F,=2y F(0,1)=0,F(0,)=2≠0, 依定理知方程x2+p2-1=0在点(,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x)
江西理工大学理学院 例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时 y = 1 的隐函数 y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2x, x = F 2 y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2 ≠ 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时 y = 1的 函数 y = f (x)．
江画工太猩院 函数的一阶和二阶导数为 小yF d x F x y dy y-xy d x2 35 d =0
江西理工大学理学院 函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0 , 0 = dx x = dy 2 2 2 y y xy dx d y − ′ = − 2 y y x y x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − , 1 3 y = − 1 . 0 2 2 = − x = dx d y
江画工太猩院 y 例2已知nx2+y2= arctan,求 解令F(x,y)=lmx2+y2- arctan 则F(x,y)= x+y F(x, y y=x 21y 25 x + y x 中,Fxx+y dx Fy-x
江西理工大学理学院 例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求dxdy . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x ++ = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y +− = y x F F dx dy = − . y x x y − + = −