例f(z) = In(x2 + y)+i(x2 - y)u(x,y)=ln(x2+2)在复平面内除原点外处处连续，(x,J)=2-2在复平面内处处连续,故f(x,J)在复平面内除原点外处处连续21
21 例 ( ) ln( ) ( ), 2 2 2 2 f z = x + y + i x − y , ( , ) ln( ) 2 2 处连续 u x y = x + y 在复平面内除原点外处 ( , ) , v x y = x2 − y2 在复平面内处处连续 故 f (x, y)在复平面内除原点外处处连续
(1)有理整函数（多项式w= P(z)=ao +az+a,z +-a.z'-对复平面内的所有点z都是连续的(2）有理分式函数P(z)其中 P(z)和Q(z)都是多项式W=Q(z)在复平面内使分母不为零的点也是连续的22
22 ( ) , 2 0 1 2 n n w = P z = a + a z + a z ++ a z (1) 有理整函数(多项式) 对复平面内的所有点z都是连续的; (2) 有理分式函数 , ( ) ( ) Q z P z w = 其中P(z)和Q(z)都是多项式, 在复平面内使分母不为零的点也是连续的
例2.5讨论函数argz的连续性解：当z=o时，argz无定义，因而不连续当z为负实轴上的点时，即zo=xo<0,则lim (arctan-元)=-元,limarg z =y→0,z->20y-→0,x→xoxarg z在负实(arctan ≥+ 元)= 元,limlimarg z =轴上不连续y→0* ,z→>20y-0*,x-→xox若zo=xo+iyo不是原点也不是负实轴及虚轴上的点arctan(y / x),argz =arctan(y / x)±元
例2.5 讨论函数argz的连续性. 解：当z=0时, arg z无定义，因而不连续. 当z0为负实轴上的点时，即z0 =x0<0,则 0 0 0 0 0 , 0 , 0 , 0 , lim arg lim (arctan π) π, lim arg lim (arctan π) π, y z z y x x y z z y x x y z x y z x − − + + → → → → → → → → = − = − = + = arg z在负实 轴上不连续. 若z0 =x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点 arctan( / ), arg arctan( / ) π, y x z y x =
arctan(y / x),arctan(y / x),limlim arg z =X±0(x,y)-→(xo.yo)[2→20[arctan(y / x)±π,arctan(y/x)±元lim arg z = arg zo2→20argz在除去原点和负实轴及虚轴的复平面上连续当z为正、负虚轴上的点zo=iyo(yoO)时元lim arg z =±=argzo.arg z在虚轴上也连续三2Z→20因此argz在复平面上除了原点和负实轴外连续
0 x 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 arctan( / ), arctan( / ), lim arg lim arctan( / ) π, arctan( / ) π, z z x y x y y x y x z → → y x y x = = 0 0 lim arg arg z z z z → = arg z在除去原点和负实轴及虚轴的复平面上连续. 当z0为正、负虚轴上的点z0=iy0 (y0≠0)时 0 0 π lim arg arg . z z 2 z z → = = arg z在虚轴上也连续. 因此arg z在复平面上除了原点和负实轴外连续
定理2.5设E为复平面上的有界闭集，W=(z)在E上连续，则（1）z)在E有界，且(z)在E上有最大（小）值（2）（z)在E上一致连续：Ve > 0,3S > 0, V21, Z2 E E : |z1 - 22/< df(z1) - f(z2)/ < 证明：（1）由于(z)=u(xy)+iv(x,y)在E上连续，得到If(z)/ = Vu2(c,y) +v2(c, y)在E上连续，从而推出(1)成立。，22=2十iy2(2）z= i+iy1,f(21) -f(z2)[≤ [u(α1,y1) -u(2,y2)/+ [v(1,y1) -v(2, y2))
设E为复平面上的有界闭集，w=f(z)在E上连续，则 （1）f(z)在E有界，且|f(z)|在E上有最大（小）值 （2）f(z)在E上一致连续： 证明：（1）由于f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在E上连续，得到 在E上连续，从而推出(1)成立。 （2） 定理2.5