例2.4(1)判断下述函数在原点处极限是否存在。f(z) = =(z≠ 0)2证 令z=x+iy, f(z)=u+iv,2xyx? - y2则 u(x,y)=v(x,y) :x? + y2x?+j2'当z沿直线y=kx趋于零时2k2xylim v(x, y) = lim1+k2x-0 x2 + y2x-→0y=kxy=kx随k值的变化而变化 所以 lim v(x,y)不存在x→xoy-ylim f(z)不存在根据定理可知16Z-0
16 例2.4(1) 判断下述函数在原点处极限是否存在。 证 令 z = x + iy, f (z) = u + iv, ( , ) , 2 2 2 2 x y x y u x y + − 则 = , 2 ( , ) 2 2 x y xy v x y + = 当z 沿直线 y = kx 趋于零时, 2 2 0 0 2 lim ( , ) lim x y xy v x y y kx x y kx x + = = → = → , 1 2 2 k k + = 随k 值的变化而变化, lim ( , ) , 0 0 所以 v x y 不存在 y y x x → → 根据定理可知, lim ( ) . 0 f z 不存在 z→
例2.4(2)判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值：zRe(z)f(z) =± 0)[z]解：(1)方法一Re(z)≤zl因为 f(z)=}zlZ所以ε>0，取=ε，当0<lzl<时，总有[f(z) -0| =|f(z)]≤|zl<8根据极限定义 limf(z)=070
例2.4(2) 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若 存在，试求出极限值： 解： (1)方法一 Re( ) ( ) z f z z z z 因为 = 所以 0 ，取 = ，当 0 z 时，总有 f z f z ( ) 0 ( ) − = z 根据极限定义 0 lim ( ) 0 z f z → =
zRe(z)f(z) =± 0)[≥]方法二(x+iy)x设z=x+iy,则 f(z)xxyxxylimlim:0(x,y)-→(0,0)(x,y)-→(0,0)Xlim f(z) = 0根据定理，有2-0
方法二 设z=x+iy,则 2 2 2 2 2 2 2 ( i ) ( ) i , x y x x xy f z x y x y x y + = = + + + + 2 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) . x xy u x y v x y x y x y = = + + 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 lim lim 0. x y x y x xy x y x y → → = = + + 根据定理，有 0 lim ( ) 0 z f z → =
$ 2.1.3复变函数的连续性定义2.3若 lim f(z)=f(zo)，则说函数z)在 zo处连续连续的三要素：（1）（z）在z处有定义（2）.fz）在z处有极限（3）f(z）在z处的极限值等于函数值如果函数(z)在区域D内每一点都连续，那么称函数(z)在区域D内连续函数(z)在曲线C上点z。处连续的意义是ZEClim f(z)= f(zo)Z>20
§2.1.3 复变函数的连续性 定义2.3 若 ，则说函数 f(z) 在 z0 处连续. 0 0 lim ( ) ( ) z z f z f z → = （1） f(z)在z0处有定义 （2）f(z)在z0处有极限 （3）f(z)在z0处的极限值等于函数值 连续的三要素: 如果函数f(z)在区域D 内每一点都连续，那么称函 数f(z)在区域D内连续. 函数f(z)在曲线C上点 处连续的意义是 0 0 lim ( ) ( ) z z f z f z → = 0 z
连续函数的性质定理2.3函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,j)在zo= Xo +iy连续的充要条件是:u(x,y)和v(x,y)在(xo,yo)处连续定理2.4(1)在z 连续的两个函数f(z)和g(z)的和、差、积、商(分母在z不为零)在z处仍连续(2) 如果函数 h = g(z)在 z 连续,函数 w= f(h)在h=g(zo)连续,那末复合函数w= [g(z)在 zo处连续。20
20 连续函数的性质 ( ) . (1) ( ) ( ) 0 0 0 积、商 分母在 不为零 在 处仍连续 在 连续的两个函数 和 的和、差、 z z z f z g z . ( ) , [ ( )] (2) ( ) , ( ) 0 0 0 0 连续 连续 那末复合函数 在 处 如果函数 在 连续 函数 在 h g z w f g z z h g z z w f h = = = = 定理2.3 . : ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 处连续 连续的充要条件是 和 在 函 数 在 u x y v x y x y f z = u x y + iv x y z = x + iy 定理2.4