复变函数第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、 幂与根三、小结与思考-U
第三节 复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考
复变函数一、乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和证设复数z,和z2的三角形式分别为zi =ri(cosa +isinQ),Z2 =rz(cos02 +isin0,)则z : Z2 =ri(cos, + isin@))·r2(cos , + isin 02)= ri · r2[(cos, cos , sin Q, sin ,)+ i(sin e, cos , + cos, sin 0,))u
2 一、乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 设复数z1和z2的三角形式分别为 (cos sin , z1 = r1 1 + i 1） (cos sin , z2 = r2 2 + i 2） (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 1 1 2 2 2 则z z = r + i r + i (sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + + = − i r r 证
复变函数zi ·Z2 = ri ·r[cos(e, +02) + isin(① +0,)][证毕]Arg(ziz2) = Argzi +Argz2从几何上看，两复数对应的向量分别为，z2，先把按逆时针方向旋转一个角21511再把它的模扩大到倍0Z2O所得向量之就表示积 Z1·Z2·+x0辐角相加两复数相乘就是把模数相乘u
3 [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 + 2 + 1 + 2 z z = r r i 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. , 再把它的模扩大到r2 倍 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 , , 1 2 z z , 2 1 旋转一个角 先把 z 按逆时针方向 . 1 2 所得向量 z 就表示积 z z 2 o x y r 2r 1r • 2 z 1 • 1z • z Arg( ) Arg Arg . 1 2 1 2 z z = z + z [证毕]
复变函数说明由于辐角的多值性,Arg(zz2)= Argzi +Argzz两端都是无穷多个数构成的两个数集对于左端的任一值，右端必有值与它相对应例如，设z=-1，2=i，则 ·Z2 =-i,Argz = 元+2nπ，(n = 0,±1, ±2,..),元Argz2+2m元,(m= 0,±1, ±2,.)?2元+2k元,Arg(zz2)(k = 0, ±1, ±2,:)12+一3元元故只须k=m+n+l.+2k元,+ 2(m+n)元 =22若k=-1,则m= 0,n=-2或m=-2,n= 0U
4 说明 由于辐角的多值性, 1 2 Arg 1 Arg 2 Arg(z z ) = z + z 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 1, , 1 2 设 z = − z = i , 1 2 则 z z = −i Arg 2 , ( 0, 1, 2, ), z1 = + n n = 2 , ( 0, 1, 2, ), 2 Arg 2 + = z = m m 2 π, ( 0, 1, 2, ), 2 π Arg( ) z1 z2 = − + k k = 2 , 1. 2 2( ) 2 3 + = + + + + = − 故 m n k 只须 k m n 若k = −1, 则m = 0,n = −2或m = −2,n = 0
复变函数设复数z和z的指数形式分别为i(0 +02)Z =reio, = rei,，则z Z=i e由此可将结论推广到n个复数相乘的情况：设 zk = r(cos0k +isinOk)= reiok, (k =1,2,*,n)Zi.Z2..... Zn = ri. r...n[cos(o, +0, +...+on)+ isin(e +, +...+0n))= ri 2.... ,ei(++,+.,)U
5 设复数z1和z2的指数形式分别为 , 1 1 1 i z = r e . ( ) 1 2 1 2 1+ 2 = i , 则 z z r r e 2 2 2 i z = r e 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: n z z z 1 2 z r (cos isin ) r e , (k 1,2, ,n) k i 设 k = k k + k = k = sin( )] [cos( ) 1 2 1 2 1 2 n n n i r r r + + + + = + + + . ( ) 1 2 1 2 n i n r r r e + + =