复变函数第五节复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念三、典型例题四、小结与思考U
第五节 复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 三、典型例题 四、小结与思考
复变函数复变函数的定义一、复1.复变函数的定义：设G是一个复数z=x+iv的集合.如果有一个确定的法则存在按这个法则对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数w=u+iv与之对应，那末称复变数W是复变数z的函数（简称复变函数),记作 w=f(z)U
2 一、复变函数的定义 ), ( ). , ( , , , . w f z w z z w u iv G G z x iy = = + = + 复变函数 记 作 之对应 那末称复变数 是复变数 的函数 简 称 每一个复数 就有一个或几个复数 与 个确定的法则存在 按这个法则 对于集合 中 的 设 是一个复数 的集合 如果有一 1.复变函数的定义:
复变函数2.单(多)值函数的定义：如果z的一个值对应着一个W的值.那未我们称函数f(z)是单值的如果z的一个值对应着两个或两个以上W的值,那末我们称函数f(z)是多值的3.定义集合和函数值集合：集合G称为f(z)的定义集合(定义域);对应于G中所有z的一切w值所成的集合G*称为函数值集合u
3 2.单(多)值函数的定义: ( ) . , 我们称函数 是单值的 如 果 的一个值对应着一个 的 值 那 末 f z z w , ( ) . 的 值 那末我们称函数 是多值的 如 果 的一个值对应着两个或两个以上 w f z z 3.定义集合和函数值集合: 集合G 称为 f (z)的定义集合(定义域); . * , 称为函数值集合 对应于G中所有z的一切w 值所成的集合G
复变函数4.复变函数与自变量之间的关系：复变函数w与自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式：u=u(x,y),， V=V(x,y)它们确定了自变量为x和v的两个二元实变函数例如，函数w=z，令z=x+iy，w=u+iv,则 u+iv =(x +iy)=x2 - y2 + 2xyi于是函数W=z2对应于两个二元实变函数：u= x? - y2, v= 2xy.1
4 4. 复变函数与自变量之间的关系: : ( ) 相当于两个关系式 复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w = f z u = u(x, y), v = v(x, y), 它们确定了自变量为x 和 y的两个二元实变函数. 例如, , 2 函数w = z 令 z = x + iy, w = u + iv, 2 则 u + iv = (x + iy) 2 , 2 2 = x − y + xyi : 于是函数 w = z 2 对应于两个二元实变函数 , 2 2 u = x − y v = 2xy
复变函数二、映射的概念1.引入：对于复变函数,由于它反映了两对变量u,V和x,V之间的对应关系,因而无法用同一平面内的几何图形表示出来，必须看成是两个复平面上的点集之间的对应关系U
5 二、映射的概念 1. 引入: . , , , , , 的点集之间的对应关系 的几何图形表示出来 必须看成是两个复平面上 和 之间的对应关系 因而无法用同一平面内 对于复变函数 由于它反映了两对变量 x y u v