E52,E72,再求出D5=E52-(E5)2,Dn=En2-(E)2。 (2)先求5,7的边缘分布，把边缘分布看作是5,7的一维分布，按照一维随机变量求 数学期望和方差的公式，求出E5,En,D5,Dn。 随机变量和差、乘积的数学期望，随机变量和差的方差 定理随机变量和差的数学期望等于它们的数学期望的和差，即 E(5±7)=E5±En。 推论n个随机变量之和的数学期望等于它们的数学期望之和，即有 定理独立随机变量乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积，即若5，η相互独立， 则有 E(5)=E5En。 推论n个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积，即如果 51,52,…,5n相互独立，则有 i1 定理独立随机变量和差的方差等于它们的方差之和，即若5，刀相互独立，则有 D(5±)=D5+Dn。 推论n个相互独立的随机变量之和的方差等于它们的方差之和，即若51,52，…，5n相 互独立，则有 6
6 2 E , 2 E ,再求出 D 2 2 = E − (E) , D 2 2 = E − (E) 。 （2）先求 , 的边缘分布，把边缘分布看作是 , 的一维分布，按照一维随机变量求 数学期望和方差的公式，求出 E ， E ， D ， D 。 随机变量和差、乘积的数学期望，随机变量和差的方差 定理 随机变量和差的数学期望等于它们的数学期望的和差，即 E( ) = E E 。 推论 n 个随机变量之和的数学期望等于它们的数学期望之和，即有 = = = n i i n i E i E 1 1 。 定理 独立随机变量乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积，即若 , 相互独立， 则有 E() = E E 。 推论 n 个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积，即如果 n , , , 1 2 相互独立，则有 = n i E i 1 = = n i E i 1 。 定理 独立随机变量和差的方差等于它们的方差之和，即若 , 相互独立，则有 D( ) = D + D 。 推论 n 个相互独立的随机变量之和的方差等于它们的方差之和，即若 n , , , 1 2 相 互独立，则有 = = = n i i n i D i D 1 1
9)二维随机变量的协方差和相关系数 称E(5-E5)(η-E)为随机变量5与n的协方差，记为Cov(5,),即 Cov(5,)=E(5-E5n-En)。 称Co5,卫为随机变量5与刀的相关系数，记为P,即P知 Cov(s,n) D Dn DE Dn 从这一定义容易看出Co(5,)=D5,Cov(,)=Dn。 容易看出Cov(5,)=P√D5VD7。 性质1若5，n为随机变量，则Cov(5,)=E(5)-E5En。 性质2若5，n为随机变量，则D(5±)=D5±2Cov(5,)+Dn。 性质3若5，n为随机变量，则Cov(5,7)=Cov(7,5)。 性质4若5，n为随机变量，a,b,c,d为常量，则Cov(a5+b,c7+d)=acCov(5,) 性质5若51,52，n为随机变量，则Co(51+52,)=Co(51,)+Cov(52,7)。 性质6若P为5，n的相关系数，则P≤1。 性质7如果5与n之间有线性关系7=a5+b,其中a,b是常数，a≠0，则当a>0 时有P初=1，当a<0时有P=-1。 反之，当P初=1时，5与n之间有线性关系7=a5+b,其中a,b是常数且a>0; 当P--1时，5与n之间有线性关系7=a5+b,其中a,b是常数且a<0。 定义若随机变量5与7的相关系数P物=0，则称5与7不相关。 定理对随机变量5与门，下面的事实是等价的： (1)Cov(5,7)=0: (2)P=0,即5与7不相关； (3)E(5)=E5En;
7 9)二维随机变量的协方差和相关系数 称 E( − E )( − E) 为随机变量 与 的协方差，记为 Cov( ,) ，即 Cov( ,) = E( − E )( − E) 。 称 D D Cov( , ) 为随机变量 与 的相关系数，记为 ，即 = D D Cov( , ) 。 从这一定义容易看出 Cov(, ) = D ，Cov(,) = D 。 容易看出 Cov( ,) = D D 。 性质 1 若 , 为随机变量，则 Cov( ,) = E() − E E 。 性质 2 若 , 为随机变量，则 D( ) = D 2Cov(,) + D 。 性质 3 若 , 为随机变量，则 Cov( ,) =Cov(, ) 。 性质 4 若 , 为随机变量， a,b,c, d 为常量，则 Cov(a + b,c + d) = acCov(,) 性质 5 若 1 , 2 , 为随机变量，则 ( , ) Cov 1 + 2 ( , ) ( , ) = Cov 1 +Cov 2 。 性质 6 若 为 , 的相关系数，则 1。 性质 7 如果 与 之间有线性关系 = a + b ，其中 a,b 是常数， a 0 ，则当 a 0 时有 = 1 ，当 a 0 时有 = −1 。 反之，当 = 1 时， 与 之间有线性关系 = a + b ，其中 a,b 是常数且 a 0 ； 当 = −1 时， 与 之间有线性关系 = a + b ，其中 a,b 是常数且 a 0。 定义 若随机变量 与 的相关系数 = 0 ，则称 与 不相关。 定理 对随机变量 与 ，下面的事实是等价的： （1） Cov(,) = 0 ； （2） = 0 ，即 与 不相关； （3） E() = E E ；
(4)D(5±)=D5+Dn。 定理若5,7相互独立，则5与7不相关。 4.4自测题四 一、判断题：（正确打+，错误打-） 1.设离散型随机变量5的概率分布为： -1 0 8 0.4 0.4 且E5=0.2,则a=3,b=0.2。 1357 2.己知随机变量5只能取-1、0、1、2四个值，其相应的概率依次为 2C`4C`8C`16C 则5的数学期望为16/37。 Ax 0<x<1 3.己知随机变量5的概率密度p(x)= 0 其他 ，则E5=1。 4.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5。现从中任取3只，求取出的3只乒乓球的最大 编号的数学期望为4.5。 5.已知二项分布的均值为60，方差为20，试验次数n,成功的概率为p=1/3 6.设X的概率分布是： X -1 0 1 2 P(X=k) 1/5 1/2 1/5 1/10 则E(5X+2)=3。 [A+Be2 x>0 7.已知5的分布为F(x)= xso' 则D5=1/4。 0 8.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=a k=0,12,,其中6>0是已知常数， 2k 则D5=2。 9.设5U(0,6),7= 1,5≤4 05>4,则n的数学期望E7=23
8 （4） D( ) = D + D 。 定理 若 , 相互独立，则 与 不相关。 4.4 自测题四 一、 判断题：(正确打+，错误打-) 1．设离散型随机变量 的概率分布为: -1 0 a P 0.4 0.4 b 且 E =0.2，则 a b = = 3, 0.2。 2．已知随机变量 只能取-1、0、1、2 四个值，其相应的概率依次为 1 2C 、 3 5 4 8 16 C C C 7 、 、 ， 则 的数学期望为 16/37。 3.已知随机变量 的概率密度 0 1 ( ) 0 Ax x x = 其他 ，则 E =1。 4．一袋中有 5 只乒乓球,编号为 1,2,3,4,5。现从中任取 3 只，求取出的 3 只乒乓球的最大 编号的数学期望为 4.5。 5．已知二项分布的均值为 60，方差为 20，试验次数 n ，成功的概率为 p ＝1/3 6. 设 X 的概率分布是： X -1 0 1 2 P(X = k) 1/5 1/2 1/5 1/10 则 E(5X+2)=3。 7. 已知 的分布为 2 0 ( ) , 0 0 x A Be x F x x − + = 则 D =1/4。 8．设随机变量 X 的概率分布为 2 ( ) , 0,1,2, ! k P X k a k k = = = …,其中 b, 0 是已知常数， 则 D = 2 。 9．设 ~U(0,6) ， = 0 4 1, 4 ，则 的数学期望 E =2/3
10.设X~N(2,1),Y~N(-1,1),且X与Y相互独立，令Z=3X-2Y-6,则 Z~N(2,13). 11·设随机变量5，)独立，且其概率密度分别为f(x)= exx≥0 10x<0 1 0<y<4 fy)=4 其他 则，E(5)=2。 10 12.两随机变量独立必不相关。 13.两随机变量5，n满足Co25+3,37-5)=6Co(5,7). 14.已知随机变量5,7满足E5=-2,E7=2,D5=1,Dn=4,P=0.5,用切比雪夫不等 式估计P{5+7≥6}≤1/12. 15.设随机变量5~P(2)泊松分布，7=2-35，则Pm=-1。 二、选择题： 0x<0 0.20≤x<1 1.离散型随机变量5的分布函数为F(x)= 0.51≤x<2 ,则E5=（）. 1 2≤x (A)0.2; (B)0.3: (C)0.5: (D)1.3. 2.已知随机变量5只能取-1、0、1、2四个值，其相应的概率依次为c,2c,3c,4c则D5为 ()。 (A)0: (B)1; (C)2; (D)5. A+Be2xx>0 3.己知5的分布为F(x)= 0 x≤0' 则E5=()。 (A)1/2: (B)1: (C)2: (D)4. 4.己知随机变量X~b(n,p),且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的 值分别为()。 (A)n=4,p=0.6;(B)n=6,p=0.4: (C)n=8,p=0.3;(D)n=24,p=01. 9
9 10.设 X ～ N(2,1) ，Y ～ N(−1, 1) ，且 X 与 Y 相互独立，令 Z = 3X − 2Y − 6 ，则 Z ～ N(2, 13) . 11 ．设随机变量 , 独 立 ， 且 其 概 率 密 度 分 别 为 0 ( ) 0 0 x e x f x x − = ， 1 0 4 ( ) 4 0 y f y = 其他 ，则, E( ) = 2。 12．两随机变量独立必不相关。 13.两随机变量 , 满足 Cov(2 +3,3 −5) = 6Cov(,) . 14．已知随机变量 , 满足 E E D D 2, 2, 1, 4, 0.5, = − = = = = − 用切比雪夫不等 式估计 P{ 6} + 1/12. 15．设随机变量 ～ P(2)泊松分布， 2 3 , 1 = − = − 则 。 二、选择题： 1. 离散型随机变量 的分布函数为 0 0 0.2 0 1 ( ) 0.5 1 2 1 2 x x F x x x = ,则 E = ( ). （A）0.2; （B）0.3; （C）0.5 ; （D）1.3. 2．已知随机变量 只能取-1、0、1、2 四个值，其相应的概率依次为 c,2c,3c,4c 则 D 为 （ ）。 （A）0; （B）1; （C）2 ; （D）5. 3.已知 的分布为 2 0 ( ) , 0 0 x A Be x F x x − + = 则 E =（ ）。 （A）1/2; （B）1; （C）2; （D）4. 4. 已知随机变量 X ～b(n, p) ，且 E(X ) = 2.4 ，D(X ) = 1.44 ，则二项分布的参数 n, p 的 值分别为（ ）。 （A） n = 4, p = 0.6 ;（B） n = 6, p = 0.4 ; （C） n = 8, p = 0.3 ; （D） n = 24, p = 0.1