Householder?矩阵与Householder?变换 平面直角坐标系中，将向量x关于轴作镜像变换 ,则得到 y=[]0-e= 冬将其推广至n维，可定义 ·设有单位列向量u∈Rm ·则称H=L-2uur为Householderi矩阵（初等反射矩阵） ·由Householder矩阵所确定的线性变换(y=x)称为 Householder3变换 H=H（正交) T=H（实对称) H1=H（自逆) =I（对合) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 Householder矩阵与Householder变换 平面直角坐标系中，将向量x关于e1轴作镜像变换 ，则得到 将其推广至n维，可定义 设有单位列向量u∈Rn • 则称H=I-2uuT为Householder矩阵（初等反射矩阵） • 由Householder矩阵所确定的线性变换（y=Hx）称为 Householder变换 1 1 T 2 2 2 2 1 0 y I 2e e x Hx 0 1
Householder?矩阵与Householder变换 冬定理2 ·对任何非零列向量x∈R"及单位列向量z∈R” ·存在Householder矩阵H,使得H=z 选u= x-xz x-z 冬定理3 ·初等旋转矩阵(Givens矩阵)是两个初等反射 矩阵的乘积 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 Householder矩阵与Householder变换 定理2 对任何非零列向量x∈Rn及单位列向量z∈Rn 存在Householder矩阵H，使得 定理3 初等旋转矩阵（Givens矩阵）是两个初等反射 矩阵的乘积 Hx x z
QR分解 必定义 ·如果实（复）矩阵A可化为正交（酉)矩阵Q与实（复 )上三角矩阵R的乘积 ·即A=QR ·则称上式为A的QR分解 冬定理 ■设A是阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉)矩阵Q与 实（复）上三角矩阵R ·使得A=QR ·且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外 ,上述分解唯一 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 QR分解 定义 如果实（复）矩阵A可化为正交（酉）矩阵Q与实（复 ）上三角矩阵R的乘积 • 即 • 则称上式为A的QR分解 定理 设A是n阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q与 实（复）上三角矩阵R • 使得 • 且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外 ，上述分解唯一 A QR A QR
QR分解 冬定理5 设A是m×n的实（复）矩阵，且其n个列线性 无关，则A具有分解A=QR,其中 ·Q是m×n阶实（复)矩阵，且满足Q'Q=I(QHQ=) ·R是n阶实（复）非奇异上三角矩阵 ·除了相差一个对角元素的绝对值（模)全为1的对角 阵因子外，上述分解唯一 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 QR分解 定理5 设A是m×n的实（复）矩阵，且其n个列线性 无关，则A具有分解A=QR，其中 • Q是m×n阶实（复）矩阵，且满足 • R是n阶实（复）非奇异上三角矩阵 • 除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角 阵因子外，上述分解唯一 T H Q Q I(Q Q I)