江画工太猩院 2狄利克雷( Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设f(x)是以2为周期的周期函数如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点并且 至多只有有限个极值点则f(x)的傅里叶级数收敛, 并且 (1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x) (2)当x是f(x)的间断点时收敛于 ∫(x-0)+∫(x+0 2 (3)当x为端点x=±π时,收敛于 ∫(-兀+0)+f(T-0)
江西理工大学理学院 2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f ( x )是以 2 π为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x )的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当 x 是 f ( x )的连续点时,级数收敛于 f ( x ); (2) 当 x 是 f ( x )的间断点时,收敛于 2 f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ; (3) 当 x为端点 x = ± π时,收敛于 2 f ( − π + 0 ) + f ( π − 0 )
江画工太猩院 注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多 例1以2兀为周期的矩形脉冲的波形 0≤t<兀 u()= m 丌<t<0 将其展开为傅立叶级数. E 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点t=km(k=0,±1,±2,)处不连续 收敛于 2Em+Em_OS e +e
江西理工大学理学院 注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多. 解 例 1 以2π 为周期的矩形脉冲的波形 ⎩⎨⎧− − ≤ < ≤ < = , 0 , 0 ( ) E t E t u t mm π π 将其展开为傅立叶级数. 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点t = kπ(k = 0,±1,±2,L)处不连续. 2 收敛于 − Em + Em 2 ( ) Em + −Em = = 0, o t u −π π − Em Em
江画工太猩院 当t≠kπ时,收敛于u(.和函数图象为 u(t ndt (Emcs ntt +1 Em coS ntt=0(m=0,2,-) u(t)sinntdt (-E m丿 sinntat+ E sin ntt
江西理工大学理学院 当t ≠ kπ时, 收敛于u(t). 和函数图象为 o t u −π π m E − Em ∫ π π −π a = u t ntdt n ( )cos 1 ∫ ∫ π −π π + − π = 0 0 cos 1 ( )cos 1 E ntdt E ntdt m m = 0 (n = 0,1,2,L) ∫ π π −π b = u t ntdt n ( )sin 1 ∫ ∫ π −π π − + π = 0 0 sin 1 ( )sin 1 E ntdt E ntdt m m
江画工太猩院 2E 2E (1-c0sm)=-"1-(-1) 4E n=2k-1,k=1,2,… (2k-1)π n=2k,k=1,2, 所求函数的傅氏展开式为 AE )=∑ sin(2n-1) (2n-1)π (-∞<t<+o;t≠0,土兀,+2m…)
江西理工大学理学院 (1 cos ) 2 − π π = n n Em [1 ( 1) ] 2 m n n E − − π = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = = − = = − π L L 0, 2 , 1,2, , 2 1, 1,2, (2 1) 4 n k k n k k k Em ∑ ∞ = − − π = 1 sin(2 1) (2 1) 4 ( ) n m n t nE u t (−∞ < t < +∞;t ≠ 0,±π,±2π,L) 所求函数的傅氏展开式为
江画工太猩院 注意:对于非周期函数如果函数∫(x)只在 区间-上有定义并且满足狄氏充 分条件也可展开成傅氏级数 作法: 周期延拓(T=2π)F(x)=∫(x)(-π,π) 端点处收敛于∫(π-0)+f(-m+0)
江西理工大学理学院 注意: 对于非周期函数,如果函数 只在 区间 上有定义,并且满足狄氏充 分条件,也可展开成傅氏级数. f (x) [−π,π] 作法: 周期延拓(T = 2π) F( x) = f ( x) (−π,π) [ ( 0) ( 0)] 21 端点处收敛于 f π − + f −π +