湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第三章 随机向量及分布（3.7）随机向量函数的分布

第三章第七节 随机向量菡数的分布

第三章第七节 随机向量函数的分布

在第二章中,我们讨论了 维随机变量函数的分布,现在我 们进一步讨论: 当随机变量X,X2…,Xn的联合分布 已知时,如何求出它们的函数 Y:=9:(X1,X 2 n/9 i=12,.0n 的联合分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题,然后将其推广到多个随机变量的情形

在第二章中，我们讨论了一 维随机变量函数的分布，现在我 们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X1 , X2 , …,Xn的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Yi =gi (X1 , X2 , …,Xn ), i=1,2,…,m 的联合分布?

、离散型分布的情形 例1若X、Y独立,P(X=k)=a,k=0,1,2 ●●● P(F=k)=b,k=0,1,2,…,求z=x+Y的概率函数 解:P(Z=r)=P(X+Y=r 由独立 ∑P(X=iY=r-1)性 此即离散型 卷积公式 ∑P(X=iP(Y=r-) i=0 =0bn+a1bn-1+…+abor=0,1,2

一、离散型分布的情形 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: P(Z = r) = P(X +Y = r) = = = = − r i P X i P Y r i 0 ( ) ( ) =a0br +a1br-1+…+arb0 = = = = − r i P X i Y r i 0 ( , ) 由独立 性 此即离散型 卷积公式 r=0,1,2, …

例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 λ1,2的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为 1+2的泊松分布 解:依题意 P(X=i) i=0,1,2, P(r=j) 产=0,1,2, 由卷积公式 P(Z=)=∑P(X=iY=r-) i=0

解：依题意 = = = = = − r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1 ,2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 + 2 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… ! ( ) i e P X i i 1 1  − = = ! ( ) j e P Y j j 2 2  − = =

由卷积公式 P(Z=r)=∑P(X=iy=r-i) e e (r-1)! (41+12) oi! (r 1+2) (4+2),r=0,1 即Z服从参数为气+2的泊松分布

= = = = = − r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 由卷积公式 = =  r i 0 r-i - 2 i - 1 (r -i)! e i! e 1 2     = − + = r r i e 0 r-i 2 i 1 ( ) i!(r -i)! r! ! 1 2     ( ) , ! 1 2 ( ) 1 2 r r e     = + − + 即Z服从参数为 1 + 2 的泊松分布. r =0,1，…