§1.7多项式函数与多项式的根
§1.7 多项式函数与多项式的根
多项式函数 1.定义:设f(x)=a+ax+…+anx"∈F[x]对 vc∈F,数f(c)=a+ac+…+ac"∈F称为当 x=C时f(x)的值,若f(c)=0,则称c为f(x)在 F中的根或零点。 2.定义(多项式函数):设f(x)∈F[x],对 VC∈F,作映射f: c→>f(c)∈F 映射确定了数域F上的一个函数f(x),f(x)被称 为F上的多项式函数。 第一章多项式
第一章 多项式 一、多项式函数 ( ) 0 1 , n n 1. 定义：设 f x a a x a x F x = + + + 对 ( ) 0 1 n n c F, 数 f c a a c a c F = + + + 称为当 F中的根或零点。 2. 定义（多项式函数）：设 f x F x ( ) , 对 c F, 作映射f： c f c F → ( ) 为F上的多项式函数。 x c = 时 f x( ) 的值，若 f c( ) = 0, 则称c为 f x( ) 在 映射f确定了数域F上的一个函数 f x( ), f x( ) 被称
当F=R时,f(x)就是数学分析中所讨论的多项 式函数。 若u(x)=f(x)士g(x),v(x)=f(x)·g(x) Ju(c=f(c+g(c), v(c)=f(c) g(c) 余式定理和综合除法 定理171(余式定理):用一次多项式XC去 除多项式f(x)所得的余式是f() 证:由带余除法:设f(x)=(x-c)q(x)+r 则r=f(c) 第一章多项式
第一章 多项式 当F=R时， f x( ) 就是数学分析中所讨论的多项 式函数。 若 u x f x g x v x f x g x ( ) = = ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) 则 u c f c g c v c f c g c ( ) = = ( ) ( ), . ( ) ( ) ( ) 二、余式定理和综合除法 所得的余式是 。 定理1.7.1（余式定理）：用一次多项式x-c去 除多项式 f x( ), f c( ) 证：由带余除法：设 f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) , 则 r f c = ( )
问题1、有没有确定带余除法: f(x)=(x-c)q(x)+r 中q(x)和r的简单方法? 设f(x)=ax+axn1+…+an1x+ (x)=bx+bx+. +bm-2+bm-1 (x-c)q(x)+r=box"+(b-cbo)x/-+ +(bm--ch-2)x+r-cbn 把f(x,(x)代入f(x)=(x-c)9(x)+r 中展开后比较方程两边的系数得: 第一章多项式
第一章 多项式 问题1、有没有确定带余除法： f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) 中 q x( ) 和 r 的简单方法？ 设 ( ) 1 0 1 1 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ( ) 1 2 0 1 2 1 n n n n q x b x b x b x b − − = + + + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 2 1. n n n n n x c q x r b x b cb x b cb x r cb − − + = + − + + − + − − − − 把 f x q x ( ), ( ) 代入 f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) 中展开后比较方程两边的系数得： 0 0 a b = 0 0 b a =
6=a+cbo +cb b, -cb tcb 2 r-c n tc6 因此,利用f(x)与q(x)之间的系数关系可以方便 q(x)和r,这就是下面的综合除法: b cb cb.a cb 6. 6 第一章多项式
第一章 多项式 1 1 0 a b cb = − 1 1 0 b a cb = + 2 2 1 a b cb = − 2 2 1 b a cb = + n n n 1 1 2 a b cb − − − = − n n n 1 1 2 b a cb − − − = + n n 1 a r cb = − − n n 1 r a cb = + − 因此，利用 f x( ) 与 q x( ) 之间的系数关系可以方便 q x( ) 和r，这就是下面的综合除法： 0 1 2 1 n n a a a a a − c + 0 0 b a = 0 cb1 b 1 cb2 b n 2 cb − n 1 b − n 1 cb − r