§1.5重因式
§1.5 重因式
定义1:不可约多项式P(x)称为f(x)的k重因式 (k∈N),如果p(x)(x),而P(x)下f(x) 当k=1时,P(x)就称f(x)的单因式, 当k>1时,P(x)称为f(x)的重因式 如果f(x)的标准分解式为: f(x)=an(x)2(x)…(x) 则n(x)…,P(x)分别是f(x)的因式,且分别为 k2…k重。 第一章多项式
第一章 多项式 定义1：不可约多项式 p x( ) 称为 f x( ) 的k重因式 (k N ), 如果 ( ) ( ), k p x f x 而 ( ) ( ) 。 k 1 p x f x + 当k=1时， p x( ) 就称 f x( ) 的单因式， 当k>1时， p x( ) 称为 f x( ) 的重因式。 如果 f x( ) 的标准分解式为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , s k k k n s f x a p x p x p x = 则 p x p x 1 ( ), , s ( ) 分别是 f x( ) 的因式，且分别为 1 , , s k k 重
要求f(x)的重因式,只要把f(x)的标准分解 式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项 式分解为不可约因式的乘积。 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重 因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念 定义2:多项式f(x)=a+ax+…+anx 的一阶导数指的是多项式: f(x)=a+2ax+…+manx”1(形式定义 阶导数f(x)的导数称为f(x)的二阶导数,记为 第一章多项式
第一章 多项式 要求 f x( ) 的重因式，只要把 f x( ) 式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项 的标准分解 式分解为不可约因式的乘积。 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重 因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。 定义2： 的一阶导数指的是多项式： ( ) 1 1 2 2 n n f x a a x na x − = + + + （形式定义） ( ) 0 1 n n 多项式 f x a a x a x = + + + 一阶导数 f x ( ) 的导数称为 f x( ) 的二阶导数，记为 f x ( )
f"(x)的导数称为f(x)的三阶导数,记为f"(x) f(x)的阶导数记为/6(x) 多项式的求导法则: 1、((x)+g(x)=f(x)+g(x) 2、((x)=f"(x) 3、((x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 4、[f(x)]=mm(x)(x) 第一章多项式
第一章 多项式 f x ( ) 的导数称为 f x( ) 的三阶导数，记为 f x ( ) … … … … f x( ) 的k阶导数记为 ( ) ( ) k f x 多项式的求导法则： 1、 ( f x g x f x g x ( ) ( )) ( ) ( ); + = + 2、 (cf x cf x ( )) ( ); = 3、 ( f x g x f x g x f x g x ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ); = + 4、 ( ) ( ) ( ) 1 . m m f x mf x f x − =
定理161:若不可约多项式P(x)是f(x) 的k重因式(k>1),则P(x)是f(x)的k-1重因 式,特别多项式f(x)的单因式不是f(x)的因 式 证:f(x)=p2(x)g(x) f(x)=kp-(xp(x)g(x)+p(x)g(x) (x)[kp(x)g(x)+p(x)g(x)1 P(x)g(x),P(x) p(x) 第一章多项式
第一章 多项式 定理1.6.1：若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的k重因式（k>1），则 p x( ) 是 f x ( ) 式，特别多项式 f x( ) 的单因式不是 f x ( ) 式。 证： ( ) ( ) ( ), k f x p x g x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 f x kp x p x g x p x g x − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k 1 p x kp x g x p x g x − = + p x g x p x p x ( ) ( ), , ( ) ( ) 的k-1重因 的因