§1.1对称多项式
§1.11 对称多项式
对称多项式是多元多项式中常见的一种,也是 类比较重要的多元多项式,它的应用比较广泛,对称 多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面,是 元多项式根的研究,下面我们从一元多项式的根与系 数的关系谈起 设f(x)=x"+ax+…+a,是F[x]的一个多项式, 如果f(x)在F中有n个根a12a2…n(重根按重数计算), 则f(x)可分解为f(x)=(x-a)(x-a)(x-a) 把上式展开,比较两边系数, 得根与系数关系如下: 第一章多项式
第一章 多项式 对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一 类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称 多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一 元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系 数的关系谈起。 设 ( ) 1 1 n n n f x x a x a − = + + + 是 F x 的一个多项式， 如果 f x( ) 在F中有n个根 1 2 , , , （重根按重数计算）， n 则 f x( ) 可分解为 ( ) ( 1 2 )( ) ( ). n f x x x x = − − − 把上式展开，比较两边系数， 得根与系数关系如下：
1=c1+2+…+n 2=c1a2+c103+…+n1O 所有可能的个不同的a的 (-1)a=∑a4a…a 乘积之和 (-1)an=a1a2…an 由此看出,多项式的系数是对称地依赖于方程 的根的,改写上述方程组得 第一章多项式
第一章 多项式 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 , , 1 1 j i n n n i k i k k k n n n a a i a a − − = + + + = + + + − = − = 所有可能的 个不同的 的 乘积之和 由此看出，多项式的系数是对称地依赖于方程 的根的，改写上述方程组得
x1+x2+…+ 2=X1x2+x1x3+…+ 所得n个n元多项式是对称地依赖于文字x,x2…xn 下面给出对称多项式的概念 定义1.111:对于n元多项式f(x2…x) 如果对任意的i,1≤i<j≤n 都有f(x,…,x 则称这个多项式为对称多项式 第一章多项式
第一章 多项式 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 , , n n n n n x x x x x x x x x x x x − = + + + = + + + = —（1） 所得n个n元多项式是对称地依赖于文字 1 2 , , , n x x x 下面给出对称多项式的概念。 定义1.11.1：对于n元多项式 f x x ( 1 , , , n ) 如果对任意的 i j i j n , ,1 , 都有 f x x x x f x x x x ( 1 1 , , , , , , , , , , i j n j i n ) = ( ) 则称这个多项式为对称多项式
例如:f(x,x2,x)=xx2+x2x3+xx2+x1x2+x2x2+x2x 是一个三元对称多项式, f(x1…,x)=x2+x2+…+x 是一个n元对称多项式。 (1)中的可1…,On都是n元对称多项式 称为初等对称多项式。 并非每一个多项式都是对称多项式, 例如∫(x,x,x3)=x3+x2x3 这时 f(x2,x2,x)=x3+x2x≠x+x2x3=f(x,x2x) 第一章多项式
第一章 多项式 例如： ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x x x x , , = + + + + + 是一个三元对称多项式， ( ) 2 2 2 1 1 2 , , n n f x x x x x = + + + 是一个n元对称多项式。 （1）中的 1 , , n 都是n元对称多项式， 称为初等对称多项式。 并非每一个多项式都是对称多项式， 例如 ( ) 3 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x , , = + 这时 ( ) ( ) 3 3 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x x x x f x x x , , , , = + + =