§1.8复数域和实数域上的多项式
§1.8 复数域和实数域上的多项式
C上多项式 对于F[x]上的多项式f(x),它在F上未必有根, 那么它在C上是否有根? 定理18.1(代数基本定理): 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 个根 定理182: 任何n(n>0)次多项式在C上有n个根(重根按 重数计算) 证:当n=1时结论显然成立。 第一章多项式
第一章 多项式 一、C上多项式 对于 F x 上的多项式 f x( ) ，它在F上未必有根， 那么它在C上是否有根？ 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 一个根。 定理1.8.1（代数基本定理）： 任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按 重数计算）。 定理1.8.2： 证： 当n=1时结论显然成立
假设结论对n1次多项式成立,则当f(x) 是n次多项式时,由于f(x)在C上至少有一个根, 设为a,则f(x)=(x-a)f(x),f(x)是C上n-1次 多项式。由归纳假设知f(x)在C上有n-1个根, 它们也是f(x)在C上的根,所以f(x)在C上有 个根 推论1:复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的,即C上不可约多项式只能是一次多 项式 推论2:任一个n(n>0)次多项式f(x)在 第一章多项式
第一章 多项式 假设结论对n-1次多项式成立，则当 f x( ) 是n次多项式时，由于 f x( ) 在C上至少有一个根， 设为 , 则 f x x f x ( ) = − ( ) 1 ( ) ， f x 1 ( ) 是C上n-1次 多项式。由归纳假设知 f x 1 ( ) 在C上有n-1个根， 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多 项式。 推论2：任一个n（n>0）次多项式 f x( ) 在 f x( ) 在C上的根，所以 f x( ) n个根。 它们也是 在C上有
C冈]上都能分解成一次因式的乘积,即 f(x)=a0+ax+…+anx的标准分解式是 f(x)=an(x-a)^(x-a2)2…(x-a,) 其中a1…,a,是不同的复数,k2…k是自然数且 ∑k 韦达定理:设a,c,是ax2+bx+c的两个根,则 a, C12 第一章多项式
第一章 多项式 上都能分解成一次因式的乘积，即 ( ) 0 1 n n f x a a x a x = + + + 的标准分解式是： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 r k k k n r f x a x x x = − − − 其中 1 , , r 是不同的复数， 1 , , r k k 是自然数且 1 . r i i k n = = 韦达定理：设 1 2 , 是 2 ax bx c + + 的两个根，则 1 2 1 2 , b c a a + = − = C x
C上多项式的根与系数关系: 设f(x)=x+ax1+…+an1x+ 一(1) 是一个n(n>0)次多项式,则它在C中有n个根,记 为 则 f(x)=(x-a(x-a2)(x-an) n-1 X Cx1+…+1)x +∑ C.C.x-+∴+ 1≤i<j≤n (2) 比较(1)与(2)的展开式中同次项的系数, 第一章多项式
第一章 多项式 C上多项式的根与系数关系： 设 ( ) 1 1 1 n n n n f x x a x a x a − = + + + + − —（1） 是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记 f x x x x ( ) = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n i j n i j n x x x − − = − + + + + + − —（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数， 1 2 , , , 为 n 则