、连续型分布的情形 设X和Y的联合密度为f(xy),求Z=X+Y的 密度 解:Z=X+Y的分布函数是: y Fz(x=P(≤z)=P(X+Y≤x x+y=z D 这里积分区域D={(x,y):x+ys 是直线x+=z左下方的半平面
设X和Y的联合密度为f (x,y), 求Z=X+Y的 密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ (z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) = D f (x, y)dxdy 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 二、连续型分布的情形
Fz(x)=‖f(x,y)dxdy y +y=z 化成累次积分,得 F2(x) f(x, y)dx dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 =L-y, 得 变量代换 F7(z f(u-y, ydujdy 交换积分次序 f(u-y, ydyldu
化成累次积分,得 + = x y z FZ (z) f (x, y)dxdy − − − = z y FZ (z) [ f (x, y)dx]dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得 − − = − z FZ (z) [ f (u y, y)du]dy − − = − z [ f (u y, y)dy]du 变量代换 交换积分次序
F2(=If(u-y, y)dyldu 由概率密度与分布函数的关系,即得z=X+Y 的概率密度为: f2(3)=F2(3)= f(z-y,y)dy 由X和Y的对称性,/z(z)又可写成 f(z)=Fz(3)= f(x,z-x)dx 以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 − f z = F z = f z − y y dy Z Z ( ) ( ) ( , ) ' 以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式. − f Z (z) = FZ (z) = f (x,z − x)dx ' − − = − z FZ (z) [ f (u y, y)dy]du
特别,当X和Y独立,设X,Y关于XY的边缘 密度分别为f(x),f),则上述两式化为: f(z)=fx(z-y)(y)小 (2)=f(x)(z=x 这两个公式称为卷积公式 下面我们用卷积公式来求 z=X+Y的概率密度
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX (x) , fY (y) , 则上述两式化为: − f z = f z − y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式 . − f z = f x f z − x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例3若X和Y独立,具有共同的概率密度 1,0≤x≤1 f(x)= 0.其它求z=X+Y的概率密度 解:由卷积公式 .OO fz()= f(x)r(3-x)dx 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0<x<1 0<x<1 也即 0≤z-x≤1 z-1≤x≤z
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例3 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . = 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x − f Z (z) = f X (x) f Y (z − x)dx 解: 由卷积公式 − 0 1 0 1 z x x 也即 − z x z x 1 0 1