《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.4）可测函数的收敛性（续）

实变函数 第四章可测函数 第四节可测函数的收敛性(续)

第四章 可测函数

各种收敛定义 几乎处处收敛:→fae于E 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 几乎一致收敛:M→faM于E 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致 依测度收敛:→/于E o>0.,有1imm-pd 0 n→)0

fn  f于E 0, lim 0   [|  | ]    f f  n n 有 mE 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 f n  f a.u.于E fn  f a.e.于E 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛

几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理) 设mE<+∞,f,f在E上几乎处处有限且可测, 若→fae于E,则fn→faln于E 设mE<+∞,fn,f在E上几乎处处有限且可测, 若n→>fae于E,则f→f于E( Lebesgue定理) 引理:设mE<+∞,fn,f在E上几乎处处有限且可测, 若→fae于E,则VE>0,有mimm(uED-na)=0

若fn  f a.e.于E，则fn  f a.u.于E 几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） [| | ] . . 0, lim ( ) 0 n n f f N n N f f a e E m E        若  于 ，则  有   引理：设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 若fn  f a.e.于E ，则 f n  f 于E 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测

叶果洛夫定理的证明 证明:又引理知V6>0,有imm(Emn-2)=0 YA9>0A>03>0想m(E)<哥 ￥=T =V2 W<z从(∩E I-ISI 以5=9 <2Q k=I N=M2K [-IsF 6 oo F=I N=uY 四E=E-5=E∪6 ∪(∪-1k i(x)下E2一那孤玩(x) A算,ANs,Ax∈E.里"(x)-(x)k<

  0, lim (  [|  | ] )  0       f f N n N n 证明：又引理知 有 m E 1 1 [| | ] 2 0, 0, 0, ( ) k n k k k k f f n N N m E         从而      有   { ( )} ( ) | ( ) ( )| 1 1 f x E f x N n N x E f x f x n k k k n k 即 在上 一致收敛到 故 ， ， ， ，有             ( ) [| | ] 1 1 n k k f f k n N c E E e E e E               而                              k n k k n k k k f f k n N f f k n N me m E e E e e E 2 1 [| | ] 1 [| | ] 1 ( ) ( ), 1 令 1 则 可测， 且

fn→>fae,于E k=1N=1m=M八2)=0 →m(∪∩∪E 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue m(以Em)=0(v)(2)定理的证明的说明 limm(∪E )=0(3) N→)∞ n=N fn-f|≥E 叶果洛夫定理的证明 n→>fa.于E(4) Lebesgue定理的证明 imm(Em-n≥a)=0(5) (5)<→(6) 引理mE<+∞ fn→月E(6) (1)(2)→(3)=(4)

(1) (2) (3) (4) (5) (6)      引理：mE<+∞ lim ( ) 0 (3)  [|  | ]      f f  N n N n m E ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1                            f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e 于E (6) lim ( ) 0 (5) [| | ] f f E m E n f f N N  于      f n  f a.u.于E (4) Lebesgue定理