§1.5多项式的分解
§1.5 多项式的分解
在中学代数里我们学过因式分解,就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中,有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了,但是当时没有理论根据,到底能不能再 分下去? 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于F[对中任一个多项式f(x,c∈F及o(x) 总是f(x)的因式。这样的因式称为平凡因式 我们感兴趣的是,除了平凡因式外,f(x) 还有没有其他的因式? 第一章多项式
第一章 多项式 在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于 F x 中任一个多项式 f x( ), c F cf x 及 ( ) 总是 f x( ) 的因式。这样的因式称为平凡因式。 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， f x( ) 还有没有其他的因式？
、不可约多项式 1、定义 定义151设f(x)是F[x中次数大于零的多项式 如果在F[x]中,f(x)只有平凡因式,则称∫(x)在数域 F上不可约。若f(x)除平凡因式外,在F[x中还有 其他因式,则称f(x)在数域F上可约 等价定义:如果F[x]中一个n(7>0)次多项式 f(x)可分解成F[x中两个次数都小于n的多项式 g(x),b(x)的积,即f(x)=g(x)h(x),则称 f(x)在数域F上可约 第一章多项式
第一章 多项式 定义1.5.1 设 f x( ) 是 F x 中次数大于零的多项式， F上不可约。若 f x( ) 除平凡因式外，在 F x 中还有 等价定义： f x( ) 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式 g x h x ( ), ( ) 的积，即 f x g x h x ( ) = ( ) ( ), 则称 f x( ) 在数域F上可约。 如果 F x 中一个 n n( 0) 次多项式 如果在 F x 中， f x( ) 只有平凡因式，则称 f x( ) 在数域 其他因式，则称 f x( ) 在数域F上可约。 一、不可约多项式 1、定义
由定义可得: ①一次多项式是不可约多项式(二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象) 多项式的可约性与数域有关(例x2+2在C上 可约,在R中不可约) ③零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性 2.性质 性质1若p(x)不可约,则cp(x)也不可约, C≠0、c∈F 性质2若p(x)是不可约多项式,(x)∈F[x] 第一章多项式
第一章 多项式 由定义可得： ① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）； ② 多项式的可约性与数域有关（例 2 x + 2 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。 2. 性质 性质1 p x( ) 不可约，则 cp x( ) 也不可约， c c F 0, . 若 性质2 若 p x( ) 是不可约多项式， f x F x ( )
则P(x)/(x)(p(x),/(x)=1 证:设(P(x),f(x)=a(x) 由d(x)/(x)→4(x)=1或d(x)=(x) 若d(x)=1,则(p(x),f(x)=1 若d(x)=cp(x),则P(x)(x) 性质3:若p(x)不可约且P(x)(x)g(x) 则P(x)f(x)或p(x)g(x) 证:若p(x)(x)则结论成立; 若p(x)f(x),又p(x)不可约 第一章多项式
第一章 多项式 则 p x f x ( ) ( ) ( p x f x ( ), 1. ( )) = 证：设 ( p x f x d x ( ), , ( )) = ( ) 由 d x f x d x ( ) ( ) = ( ) 1 或 d x cp x ( ) = ( ). 若 d x( ) =1, 则 ( p x f x ( ), 1. ( )) = 若 d x cp x ( ) = ( ), 则 p x f x ( ) ( ) 性质3：若 p x( ) 不可约且 p x f x g x ( ) ( ) ( ) 则 p x f x ( ) ( ) 或 p x g x ( ) ( ). 证： 若 p x f x ( ) ( ), 则结论成立； 若 p x f x ( ) ( ) ，又 p x( ) 不可约