§1.3整除性理论
§1.3 整除性理论
多项式整除的概 多项式的整除性 设∫(x)g(x)∈F[,若存在h(x)∈F[x],使 f(x)=g(x)h(x),则说g(x)整除f(x),记为: 8(x)f() 否则就说g(x)不能整除∫(x),记为:g(x)f(x) 当g(x)/(x)时,g(x)称作f(x)的因式 f(x)称作8(x)的倍式 2.整除的基本性质 性质1:若h(x)(x)g(x)(x) 第一章多项式
第一章 多项式 一、多项式整除的概念 1. 多项式的整除性 设 f x g x F x ( ), ( ) ，若存在 h x F x ( ) ，使 f x g x h x ( ) = ( ) ( ) ，则说 g x( ) 整除 f x( ) ，记为： g x f x ( ) ( ) ，记为： g x f x ( ) ( ) 。 当 g x f x ( ) ( ) 时， g x( ) 称作 f x( ) 的因式， f x( ) 称作 g x( ) 的倍式。 2. 整除的基本性质 性质1： 否则就说 g x( ) 不能整除 f x( ) 若 h x g x g x f x ( ) ( ), ( ) ( )
则h(x)f(x)。(传递性) 证:∵h(x)g(x),g(x)(x) 彐m1(x),m2(x)∈F[x] 使g(x)=h(x)m1( f(x)=g()m2(x)=h(x)m,(x)m,(x) h()If() 性质2:若h()3(x),(x(x),则(士g)。 证:∵g(x)=h(x)m(x),f(x)=h(x)m2(x) m(x),m2(x)∈F[x (f±g)=h(x(mn(x)+m2(x),(x)(士g) 第一章多项式
第一章 多项式 则 h x f x ( ) ( ) 。（传递性） 证： h x g x g x f x ( ) ( ), , ( ) ( ) m x m x F x 1 2 ( ), ( ) 使 g x h x m x ( ) = ( ) 1 ( ), f x g x m x h x m x m x ( ) = = ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) h x f x ( ) ( ) 性质2：若 h x g x h x f x ( ) ( ), ( ) ( ) ，则 h f g ( ) 。 证： g x h x m x f x h x m x ( ) = = ( ) 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) m x m x F x 1 2 ( ), ( ) = + ( f g h x m x m x ) ( )( 1 2 ( ) ( )), h x f g ( ) ( )
性质3:若(x)(x),对vg(x)∈F[小]。有h 证:f(x)=h(x)m(x),m(x)∈F[x] f(x)g(x)=h(x)g(x)m(x), (x)/(x)g(x) 性质4:若h(x)f(x),i=12…m 则对g(x)∈F[x],i=12,…,m 有h(x)(1±82±…士m8m 性质5:若f(x)(x)g(x)f(x) 则∫(x)=c·g(x),c∈F 第一章多项式
第一章 多项式 性质3：若 h x f x ( ) ( ) ，对 g x F x ( ) 。 有 h fg 证： f x h x m x m x F x ( ) = ( ) ( ), ( ) f x g x h x g x m x ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ), h x f x g x ( ) ( ) ( ) 性质4：若 ( ) ( ), 1, 2, , , i h x f x i m = 则对 ( ) , 1, 2, , i g x F x i m = 有 h x f g f g f g ( ) ( 1 1 2 2 m m ) 性质5：若 f x g x g x f x ( ) ( ), ( ) ( ) 则 f x c g x c F ( ) = ( ),
证: 8=1,f=gl=∫(h) O(M)=0,h为常数 性质6:V(x)∈F[x]c∈F且c≠0 则c|f(x),cf(x)f(x) 性质7:V(x)∈F[x],f(x)零多项式 3.带余除法定理 定理131:设f(x)g(x)∈F[x],且8(x)≠0 则存在q(x),r(x)∈F[x],使得f(x)=g(x)9(x)+r(x) 这里o(r(x)<(g(x)或r(x)=0 第一章多项式
第一章 多项式 证： g hf f gl f hl = = = , , ( ) = (hl h l ) 0, , 为常数。 性质6： f x F x c F ( ) , 且 c 0 则 c f x cf x f x ( ), ( ) ( ) 性质7： f x F x f x ( ) , ( ) 零多项式 3. 带余除法定理 定理1.3.1： 设 f x g x F x ( ), ( ) ，且 g x( ) 0, 则存在 q x r x F x ( ), , ( ) 使得 f x g x q x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ) 这里 (r x g x ( )) ( ( )) 或 r x( ) = 0