第一章多项式
第一章 多项式
§11数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围,学习数学也是如此。 比如,先学习自然数,然后整数,再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况,都跟数的范围有关。 例如 x2-2在有理数范围内不能分解,在实数范围内 就可以分解。 x2+1=0在实数范围内没有根,在复数范围内就 有根。等等。 第一章多项式
第一章 多项式 §1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如 2 x − 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内 就可以分解。 2 x + =1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等
我们目前学习的解析几何,数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中,通常不做 这样的限制 在代数中,我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算(即代数运算)是否还在这个集合之中 佧银熨铆是诿外非空集合,定义在A上的一个代数运算 运算颤藂激郸萩俙素楸是憝灘的修在 整数的商荻不集锭禔鳘斆该魃匍窸燚集封枷、减、 乘三种运算封闭,但对除法并不封闭;而有理数集 对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。 同样,实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭 第一章多项式
第一章 多项式 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。 A A （即运算是否封闭）。 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭
根据数对运算的封闭情况,我们把数集分为两类: 数环和数域。 数环 定义1:设S是由一些复数组成的一个非空集合 如果对∨a,b∈S,总有a+b,a-b,a·b∈S 则称S是一个数环。 例如:整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集 C都是数环 问题:1、除了Z、Q、R、C外是否还有其他数环? 2、有没有最小的数环? 例1:设a是一个确定的整数。令S={naln∈2 第一章多项式
第一章 多项式 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。 一、数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a b S , ，总有 a b a b a b S + − , , 则称S是一个数环。 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 例如： 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z = 定义1：
S是一个数环。 特别,当a=2时,S是全体偶数组成的数环 当a=0时,S={0,即只包含一个零组成的数 环,这是最小的数环,称为零环 问题:3、一个数环是否一定包含0元 4、除了零环外,是否还有只含有限个元素的 数环? 例2:证明2()={(+b1b∈z2=}是一个数环 问题:5、除了定义之外,判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法? 第一章多项式
第一章 多项式 则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 当a=0时， S =0 ，即只包含一个零组成的数 环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 例2：证明 ( ) 2 Z i a bi a b Z i = + = − , , 1 是一个数环。 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？