§1.4多项式的最大公因式
§1.4 多项式的最大公因式
、两个多项式的最大公因式 定义1:f(x),g(x)h(x)∈F[x], 若h(x)(x),(x)f(x) 则6(x)是f(x)8(x)的一个公因式 例如h=x-1是f=x3 x,g=x3-x2-x+1 的一个公因式。 定义2:设d(x)是f(x),(x)的一个公因式 若f(x),g(x)的任一个公因式(x)均有h(x)d(x) 则称d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 第一章多项式
第一章 多项式 一、两个多项式的最大公因式 定义1： f x g x h x F x ( ), , , ( ) ( ) 若 h x g x h x f x ( ) ( ), , ( ) ( ) 则 h x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的一个公因式。 的一个公因式。 定义2：设 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的一个公因式。 若 f x g x ( ), ( ) 的任一个公因式 h x( ) 均有 h x d x ( ) ( ), 则称 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式。 3 3 2 例如 h x = −1 是 f x x g x x x = − = − − + , 1
问题:1、如何求两个多项式的最大公因式? 2、最大公因式是否唯一? 引理:若f(x)=g(x)q(x)+r(x) 则两对多项式f(x)与g(x),g(x)与r(x)有相同的 公因式和最大公因式。 证:1、设h(x)是f(x,g(x)的公因式 →h(x)是8(x,(x)的公因式 反之,设h(x)是g(x)7(x)的公因式 →h(x)是f(x)g(x)的公因式 第一章多项式
第一章 多项式 问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？ 2、最大公因式是否唯一？ 引理： 若 f x g x q x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 与 公因式和最大公因式。 证：1、设 h x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式 h x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式。 反之，设 h x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式 h x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式。 则两对多项式 f x( ) 与 g x( ) ， g x( ) r x( ) 有相同的
2、设d(x)是f(x)g(x)的最大公因式 →d(x)是g(x)7(x)的公因式, 对g(x)r(x)的任一公因式m(x) →m(x)是f(x),g(x)的公因式→m()(x) 故d(x)是8(x)(x)的最大公因式 反之同样成立 由引理知,要求f(x),g(x)的最大公因式可以 转化为求g(x)与r(x)的最大公因式。由于 O(7(x)<a(g(x) 根据这种思想,我们可以对 第一章多项式
第一章 多项式 2、设 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式 d x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式， 对 g x r x ( ), ( ) 的任一公因式 m x( ) m x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式 m x d x ( ) ( ) 故 d x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的最大公因式。 反之同样成立。 由引理知，要求 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式可以 转化为求 g x( ) 与 r x( ) 的最大公因式。由于 (r x g x ( )) ( ( )) 根据这种思想，我们可以对
f(x),g(x)进行如下的辗转相除: (x)=g(x)91(x)+(x),O( r(x<dg( g(x)=7(x)42(x)+2(x),O((x)<((x) n(x)=n2(x)9(x)+(x),O((x)<a(2(x) (1.4.1) (x)=71(x)9(x)+(x),O(v(x)<(1(x) k+1 x)+0 (x)=0 当进行到某一步时,余式为0。 例如nx1(x)=0,则上一个式子的余式(x) 就是f(x),g(x)的最大公因式。 第一章多项式
第一章 多项式 f x g x ( ), ( ) 进行如下的辗转相除： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 0, 0. k k k k k k k k k k f x g x q x r x r x g x g x r x q x r x r x r x r x r x q x r x r x r x r x r x q x r x r x r x r x r x q x r x − − − − + + = + = + = + = + = + = （1.4.1） 当进行到某一步时，余式为0。 例如 1 ( ) 0, k r x + = 则上一个式子的余式 r x k ( ) 就是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式