实变函数 第四章可测函数 第三节可测函数结构Lusn定理
第三节 可测函数结构 Lusin定理 第四章 可测函数
可测函数 ●可测集E上的连续函数定为可测函数 ●简单函数是可测函数 ●可测函数总可表示成一列简单函数的极限 (当可测函数有界时,可作到一致收敛) 问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?
可测函数 ⚫ 简单函数是可测函数 ⚫ 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛） 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ ⚫可测集E上的连续函数定为可测函数
鲁津定理 设x为E上几乎处处有限的可测函数,则E>0彐闭集FcE 使得m(EF)<E且f(x)在F上连续。 (去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数) 即:可测函数“基本上”是连续函数 实变函数的三条原理( L.E. Littlewood) (1)任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并) 2)任一可测函数差不多就是连续函数 (3)任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列
鲁津定理 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0,闭集F E， 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数 （3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列 （2）任一可测函数差不多就是连续函数
鲁津定理的证明 证明:由于mE[f+∞]=0,故不妨令fx)为有限函数 (1)当(x)为简单函数时, 令(x)=∑c5(x)(其中E=∪E,E可测且两两不交) VE>0,及每个E,作E中的闭子集F,使m(E-F)<(i=1,2,…,n) 当X∈E时,f(x)=c,所以f(x)在F上连续, 而F为两两不交闭集,故f(x)在F=上连续 显然F为闭集,且有 m(E-F)≤∑m(E1-F)<∑=6
鲁津定理的证明 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时， ( ) ( ) 1 f x c x Ei n i i = 令 = 其中 i i 可测且两两不交） n i ( E E ,E =1 = 0, E E F m(E F ) (i 1,2, ,n) 及每个 i，作 i中的闭子集 i，使 i − i n = − − = = = n i n n i m E F m Ei Fi 1 1 ( ) ( ) i n i F F =1 = 当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续 显然F为闭集，且有
对f(x)在F连续的说明 ●若f(x)在F上连续,而F为两两不交闭集,则fx在F=∪F 上连续 证明:任取[eF=F 则存在io,使得X∈Fo,f(X)=co 又F为两两不交闭集,从而x在开集F)y中 所以存在6>0,使得o(x)=(∪Fy 从而O(x,。)∩F=O(x0)(F)=Ox)∩F 故对任意x∈O(x,δ)∩F,有f(x)-f(×)|=0,故f连续
对f(x)在F连续的说明 ⚫ 若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续 i n i F F =1 = 故对任意x`∈O(x, δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f 连续 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 1 i i n i O x F = O x F = O x F = 从而 Fi0 ( ) x i n i x F F =1 证明：任取 = 则存在 i0，使得x∈Fi0，f(x)= ci0， c i i i ( F ) 0 又Fi为两两不交闭集，从而x在开集 中 c i i i O(x, ) ( F ) 0 所以存在δ>0, 使得