实变函数 第四章可测函数 第一节可测函数的定义及其简单性质
第一节 可测函数的定义及其简单性质 第四章 可测函数
新的积分( Lebesgue积分,从分割值域入手) E={x:y1≤f(x)<y y1≤51<V 用mE表示E的“长度” (L)f(x)dx=im∑2m Ei [a,b] 问题:怎样的函数可使E都有“长度”(测 度)?
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） i n i i a b L f x dx m E = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim yi yi-1 { : ( ) } i i 1 i E = x y f x y − i i i y y −1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义:设x是可测集E上的实函数(可取士) 若a∈RE可测,则称是E上的可测函数 例(1)零集上的任何函数都是可测函数。 注:称外测度为0的集合为零集;零集的子 集,有限并,可数并仍为零集
1可测函数定义 [ ] , R E f a a 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数
可测函数∈RE可测 (2)简单函数是可测函数 若=(E可测且两两不交),f(x)在 每个E上取常值c,则称f(x)是E上的简单函数; (x)=)z()x2(x)=10xE 注: Dirichlet函数是简单函数
(2)简单函数是可测函数 i n i E E =1 = ( ) ( ) 1 f x c x Ei n i i = = i i i x E E x E E x = − 1 0 ( ) 可测函数 a R, E[ f a] 可测 注：Dirichlet函数是简单函数 0 1 若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
(3)可测集E上的连续函数x)必为可测函数 设x)为E上有限实函数,称x)在x∈处连续 若vE>0.36>0使得f(OE)O( 对比:设x)为(a.b)上有限实函数,(x)在∈(ab)处连续 若lmnf(x)=f(x) x→x 即vE>0,36>0,当x-xko时,有|f(x)-f(x)k<E 即E>0,36>0,当x∈O20.时,有f(x)∈O(x)2) 即E>0,36>0,使得(Om0)cOr(m)2 fx)在x∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数 即 0, 0,当| x − x0 | 时，有| f (x) − f (x0 )| 对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， 0 f x x a b ( ) ( , ) 在 处连续 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 若 ( ( 0 , ) ) ( ( 0 ) , ) 0, 0, O x O f x 即 使得f ( 0 , ) ( ) ( ( 0 ) , ) 0, 0, x x O f x 即 当xO 时，有f ( ) ( ) ( ) [ , ] f(x) 在x0 a b 处连续(对闭区间端点则用左或右连续) ( , ) ( ( ), ) 0 0 0, 0, ( ) O x E O f x 若 使得f 设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续