例1、设A为n阶正定矩阵，证明（1）A-1是正定矩阵；（2）kA(k>0是正定矩阵；（3）A*是正定矩阵；（4）Am是正定矩阵（m为任意整数）：（5）若B亦是正定矩阵，则A十B也是正定矩阵：85.4正定二次型区区
§5. 4 正定二次型 例1、设A为 n阶正定矩阵，证明 （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵； （2） kA k( 0) 是正定矩阵； （1） A −1 是正定矩阵； （3） A * 是正定矩阵； （4） A m 是正定矩阵（m为任意整数）；
证：（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使P'AP=E，于是有，(P'AP)-" = P-"A-"(P-) = (P-I))A-'(P-I) = E令Q=(P-})，则Q可逆，且 Q'A-"Q=E,即，A-"与单位矩阵E合同．故，A-"正定.（2）由于A正定，对VXER",X0,都有X'AX>0,因此有 X'(kA)X =kX'AX>0.故，kA正定.85.4正定二次型
§5. 4 正定二次型 证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 于是有， 故， 正定. 1 A − （2）由于A 正定，对 , 0, 都有 n X R X X AX 0, 因此有 X kA X kX AX ( ) 0. = 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) (( ) ) ( ) P AP P A P P A P E − − − − − − − = = = P AP E = , 令 1 Q P( ) , − = 故， kA 正定. 即， 与单位矩阵E合同. 1 A − 则Q可逆，且 1 Q A Q E, − =