又由于C可逆,Y。≠0，所以X。≠0,即C,C..…….Cn不全为.... g(ki,k2...,.kn)= f(ci,C2....cn) >0.. g(yi,y2...,yn)正定.反之，实二次型g(yi,J2.…,yn)可经过非退化线性替换Y=C-1X变到实二次型f(xj,X2.,x),同理，若g正定，则f正定，所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性85.4正定二次型会
§5. 4 正定二次型 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 又由于C可逆， Y 0 0 ，所以 X 0, 0 同理，若 g 正定，则 f 正定. 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 0 n n = g k k k f c c c 1 2 ( , , , ) n g y y y 正定. 反之，实二次型 g y y y ( , , , ) 1 2 n 可经过非退化 即 不全为0. 1 2 , , , n c c c 线性替换 变到实二次型 1 2 ( , , , ), n Y X f x x x - 1 = C
(定理5）n元实二次型f(xj,x2....,x,)正定4秩f=n=p（f的正惯性指数）：证：设f(x,x2..,x,)经非退化线性替换X=CY变成标准形f(xi,x2...,xn)=dy +d2y? +...+d,y?由2),f正定←d,>0,i=1,2,,n即，f 的正惯性指数p=n秩f.85.4正定二次型KV
§5. 4 正定二次型 秩 f ＝n＝ p （ f 的正惯性指数）. 4）(定理5) n元实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 正定 证：设 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经非退化线性替换 X CY = 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d y d y d y = + + + 变成标准形 由2), f 正定 0, 1,2, , d i n i = 即， f 的正惯性指数p＝n＝秩 f
5正定二次型f(x,z…,x）的标准形为dy?+dzy2?+...+dnyn, i>0, i=1,2,.*,n规范形为+z?+.+z?.35.4正定二次型A
§5. 4 正定二次型 规范形为 2 2 2 1 2 . n z z z + + + 2 2 2 1 1 2 2 , 0, 1,2, , n n d y d y d y i i n + + + = 5）正定二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 的标准形为
二、正定矩阵设A为实对称矩阵，若二次型X'AX1、定义是正定的，则称A为正定矩阵2、正定矩阵的判定1）实对称矩阵A正定台A与单位矩阵E合同：正定二次型的规范形为z？+z+·+z2=Z'EZX2）实对称矩阵A正定可见，正定矩阵是可逆矩阵台存在可逆矩阵C，使A=CC：A与E合同,即存在可逆矩阵C，使A=C'EC=C'C85.4正定二次型区区
§5. 4 正定二次型 二、正定矩阵 1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型 X AX 正定二次型的规范形为 2 2 2 1 2 n z z z Z EZ + + + = 是正定的，则称A为正定矩阵. 2、正定矩阵的判定 2) 实对称矩阵A正定 1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同. A与E合同,即存在可逆矩阵C，使 A C EC C C = = 可见，正定矩 存在可逆矩阵 阵是可逆矩阵. C，使 A C C =
3实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同(d)d,：若D=d, >0, i=1,2,..,ndn)为任一正对角矩阵，则JaVaJa,d,D=d.即，D与E合同.85.4正定二次型区
§5. 4 正定二次型 3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同. 即，D与E合同. 为任一正对角矩阵，则 若 1 2 , 0, 1,2, , i n d d D d i n d = = 1 1 2 2 1 1 1 n n d d d d D d d =