第四章不定积分 微分法：F'(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？)'=f(x) §4.1不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 不定积分 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 §4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数 为f(x),即对任一x∈I,都有 F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx’ 那末函数F(x)就称为f(x)（或f(x)dx)在区间I 上的原函数。 例如：因为 (sinx)'=cosx (sinx+C)'=cosx (其中C是任意常数)，所以sinx与sinx+C都是 cosx的原函数
一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F x( ) 的导函数 为 f x( ) ，即对任一 x I ，都有 F x f x '( ) ( ) = 或 d ( ) ( )d F x f x x = ， 那末函数 F x( ) 就称为 f x( ) （或 f x x ( )d ）在区间 I 上的原函数。 (sin ) cos x x = (sin ) cos x C x + = sin x sin x C+ cos x 例如：因为 与 都是 的原函数. （其中 C 是任意常数），所以
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 结论一（原函数存在定理）：如果函数∫(x)在区 间I上连续，则f(x)在区间上一定有原函数，即存在 区间I上的可导函数F(x),使得对任一x∈I,有 F'(x)=f(x)
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 结论一（原函数存在定理）：如果函数 在区 间I上连续，则 在区间I上一定有原函数，即存在 区间I上的可导函数 ，使得对任一 ，有 f x( ) f x( ) F x( ) x I F x f x ( ) ( ) =
结论二：如果f(x)在区间I上有一个原函数F(x) 则：(1)F(x)+C(其中C为任意常数)都是f(x)的原 函数，即f(x)有无穷多个原函数； (2)如果G(x)是f(x)在区间上的另一个原函数， 则 秤x) 莲为常数，即 F(x)-G(x)=C(C为常数) (3)F(x)+C(C为任意常数)可以表达f(x)的 任意一个原函数
结论二：如果 在区间 上有一个原函数 则:（1） （其中 为任意常数）都是 的原 函数，即 有无穷多个原函数； （2）如果 是 在区间I上的另一个原函数， 则 和 之差为常数，即 （C为常数） （3） （C为任意常数）可以表达 的 任意一个原函数。 f x( ) I F x( ) F x C ( ) + C f x( ) f x( ) F x( ) G x( ) G x( ) f x( ) F x G x C ( ) ( ) − = F x C ( ) + f x( )
定义2f(x在区间I上的原函数全体称为f(x)在I 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫一积分号； f(x)一被积函数； x—天 积分变量；f(x)x一被积表达式， 若F'(x)=f(x),则 「f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 例如， [e*dx=e*+C C称为积分常数 「x2dx=3x3+C 不可丢！ sinxdx =-cosx+C
定义 2 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 记作 = sin xdx − cos x +C