上次课内容复习： 定积分的几何应用 1.平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程A=w()p')d1 极坐标方程4=0(0d0 2.已知平行截面面面积函数的立体体积 V=∫84Ax)dx
上次课内容复习： 定积分的几何应用 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
2.旋转体的体积 当考虑连续曲线段y=f(x)(a≤x≤b)绕x轴 轴旋转一周围成的立体体积时， y= 有v=∫x[fx]d 当考虑连续曲线段 x=p(y)(c≤y≤d) 绕y轴旋转一周围成的立体体积时， 有 =(y) V=π[p(y)2dy X
x y o a b x y o a b y f x = ( ) 当考虑连续曲线段 2 [ f (x)] 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 dx = b a V 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 2 [( y)] dy = d c V x o x y x =( y) c d y 2. 旋转体的体积
例8计算由椭圆 xB? 62 =1所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解：方法1利用直角坐标方程 y=ba2-2(a≤xsj 则 利用对称性) -2rJ(a2-x)dx b =2π2 4 πab2
a y x b 例8 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 a x x a b a 2 ( )d 2 0 2 2 2 = − (利用对称性) = − 2 3 2 2 3 1 2 a x x a b 0 a 2 3 4 = ab o = a V 0 2 y dx 2 x
方法2利用椭圆参数方程 x=acost y=bsint 则V=2ry2d=2xj0abs =2xab2.2.1 4 4 特别当b=a时，就得半径为a的球体的体积πa3
方法2 利用椭圆参数方程 则 V y x a 2 d 0 2 = 2 ab sin t dt 2 3 = 2 = 2 ab 3 2 2 3 4 = ab 1 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 . 3 4 3 a
例9求由抛物线y=x及直线y=x所围成的平面 图形分别绕x轴和y轴旋转一周所生成的立体的体积 (1,10 y=x
图形分别绕 轴和 轴旋转一周所生成的立体的体积. 例9 求由抛物线 y x = 及直线 所围成的平面 2 y x = x y y x = 2 y y x = 1 (11, ) o x 1 x