上次课内容复习： (1)罗尔Rolle)中值定理。 (2)拉格朗日(Lagrange)中值定理。 (3)如果f'(x)=0,x∈I,→f(x)=constant,x∈I. (4)如果f'(x)≡g'(x),x∈I,→f(x)=g(x)+C,x∈I. (5)柯西(Cauchy)中值定理
上次课内容复习： （1）罗尔(Rolle)中值定理 。 （2）拉格朗日（Lagrange）中值定理。 （3）如果 f x x I f x x I ( ) 0, , ( ) constant, . = （4）如果 f x g x x I f x g x c x I ( ) ( ), , ( ) ( ) , . = + （5）柯西（Cauchy）中值定理
本次课内容： 运用柯西中值定理研究未定式的 极限问题（洛必达法则）。 函数之商的极限mf9(或” 袼必达，G.F.-A.de 0 型) 洛必达(1661- g(x)` 0 00 1704)法国数学家， 他著有《无穷小 转化 洛必达法则 分析》，并在该书 中提出了求未定 导数之商的极限im f'(x) 式极限的方法，后 8'(x) 人将其命名为 《洛必达法则
函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 洛必达法则 本次课内容： 运用柯西中值定理研究未定式的 极限问题（洛必达法则）。 . 洛必达(1661– 1704)法国数学家, 他著有《无穷小 分析》,并在该书 中提出了求未定 式极限的方法,后 人将其命名为 “洛必达法则
柯西(Cauchy)中值定理 如果函数f(x),F(x)满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)F(x)≠0， 则在(a,b)内至少有一点5，使得 f(b)-f(a_f'(5) F(b)-F(a)F()
如果函数 f x F x ( ), ( ) 满足如下条件: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f F b F a F − = − 。 柯西（Cauchy）中值定理 （1） 在闭区间 上连续; （2） 在开区间 内可导; （3） 则在 内至少有一点 ，使得 [ , ] a b ( , ) a b ( , ) a b F x( ) 0,
§3.2洛必达（L'Hospital)法则 定理1若函数f(x)和g(x)满足： 1.lim f(x)=lim g(x)=0 2、在点x,的某去心邻域U°(x)内两者都可导， 且g'(x)≠0： 3、1im'因=A(何为实数，也可为士o或o); *68'(x) 则 lim)=lim= x6g(x)x→g'(x)
定理1 若函数 和 满足： 1、 ； 2、在点 的某去心邻域 内两者都可导， 且 ； 3、 ； f x( ) g x( ) 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = 0 x 0 ( ) o U x g x ( ) 0 0 ( ) lim ( ( ) x x f x A A → g x = 可为实数，也可为 或 ） 则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x = = 。 §3.2 洛必达（L’Hospital）法则
推论1定理1中x→x。换为下列过程之一： x→x),X>X,X→0，X→+0，x→-00 条件2作相应的修改，定理1仍然成立。 推论2.若1m仍属型，且f(x),8) g'(x) 满足定理1的条件，则 lim-lim)=lim( 8(x) g(x) g"(x)
推论1 定理1中 0 x x → 换为下列过程之一: 0 x x , → − 条件2作相应的修改 , 定理1仍然成立。 x → +, 推论2. 若 ( ) lim ( ) f x g x 仍属 型, 且 ( ), ( ) 0 0 f x g x 满足定理1的条件，则