第三章微分中值定理及其应用 本章教学目的：应用导数来研究函数本身所具有的 性质，如函数的增、减性及其极值；函数的凹、凸性及 其拐点等。 微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯 西定理)正是研究上述问题的有效工具。 本次课教学内容： (1)罗尔定理及其应用； (2)拉格朗日定理及其应用； (3)柯西定理及其应用
第三章 微分中值定理及其应用 本章教学目的：应用导数来研究函数本身所具有的 性质，如函数的增、减性及其极值；函数的凹、凸性及 其拐点等。 微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯 西定理）正是研究上述问题的有效工具。 本次课教学内容： （1）罗尔定理及其应用； （2）拉格朗日定理及其应用； （3）柯西定理及其应用
§3.1微分中值定理 一 罗尔(Rolle)中值定理Rolle.M.法1652一1719] 定理3.1罗尔(Rolle)定理 罗尔定理的几何意义 如果函数f(x)满足如下条件： ()在闭区间a,b]上连续； y=f(x) (2)在开区间(a,b)内可导； (3)在区间的端点处函数值相 等，即f(a)=f(b), a s 5,b x 则在(a,b)内至少有一点5，使得 f'(5)=0
§3.1 微分中值定理 一 罗尔(Rolle)中值定理 [Rolle.M. 法1652—1719] 定理3.1 罗尔(Rolle)定理 如果函数 f x( ) 满足如下条件: (1) 在闭区间 上连续; (2) 在开区间 内可导; (3) 在区间的端点处函数值相 等，即 ， 则在 内至少有一点 ，使得 [ , ] a b ( , ) a b f a f b ( ) ( ) = ( , ) a b 几何意义： f ( ) 0 (1) = 。 罗尔定理的几何意义 a b A B y o x y f x = ( ) 1 2
有关知识点复习： 1、如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b] 上必有最大值与最小值。 2、如果在x的δ去心邻域U(x,)内，f(x)≥0（或 f(x)≤0)，而且1imf(x)=a,那么a≥0（或a≤0）. 3、函数在一点可导的充分必要条件。 例1设f(x)=sinx,x∈[0，π]，验证罗尔定理的正 确性。 解：(1)函数在区间[0，π]上连续； （2)函数在区间(0，)内可导；
有关知识点复习： 1、如果函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值与最小值。 f x( ) [ , ] a b f x( ) [ , ] a b 例1 设 ， ，验证罗尔定理的正 确性。 f x x ( ) sin = x[0, ] 解：（1）函数在区间 [0, ] 上连续； （2）函数在区间(0, ) 内可导； 0 x 0 lim ( ) x x f x a → f (x) 0 ),而且 = ，那么 a 0 （或 a 0 ）． o 0 2、 如果在 的 去心邻域 U x( , ) 内， f (x) 0 （或 3、函数在一点可导的充分必要条件
(3)f(0)=f(π)=0，在两端点处函数值相等。 因为f'(x)=((sin x)=cosx，现取5=-e(0,x) 则 元-2 cos-0 特别提示1：罗尔定理的条件是充分的。 例2设函数 4 (x-1)2+1x∈[0,2) f(x)= 3 x+1 x∈[2,3] 2 f'(1)=0 特别提示2：罗尔定理的条件 并非是必要的
（3） f f (0) ( ) 0 = = ，在两端点处函数值相等。 因为 f x x x ( ) (sin ) cos = = ，现取 (0, ) ， 2 = 则 cos 0 。 2 2 f = = 特别提示1：罗尔定理的条件是充分的。 例2 设函数 2 ( 1) 1 [0, 2) ( ) 1 [2,3] x x f x x x − + = + 1 1 2 2 3 3 4 o x y 特别提示2：罗尔定理的条件 并非是必要的。 f (1) 0 =
例3如图所示： y=f(x) y=f(x) y=f(x) a 0 o a bx 函数不连续 函数不可导 函数在端点的值不相等 特别提示3：如果函数在区间（α，b)内没有导数为 零的点，则函数在该区间上至少不满足罗尔定理的三 个条件之一
例3 如图所示： o x y a b y f x = ( ) 函数不连续 o x y a b y f x = ( ) 函数不可导 o x y a b y f x = ( ) 函数在端点的值不相等 特别提示3：如果函数在区间 内没有导数为 零的点，则函数在该区间上至少不满足罗尔定理的三 个条件之一。 ( , ) a b