定义14.5.1设 a(x,y, 3)=P(x, y,x)i+o(x,y,zj+R(x, y, z)k (x,y,z)∈s2 是一个向量场,P(x,y,z,Q(x,y,),R(x,y,z)在2上具有连续偏导数。∑ 为场中的定向曲面,称曲面积分 =l adS 为向量场a沿指定侧通过曲面勦通量。 设M为这个场中任一点。称 aP aO R (M)+(M)+(M) az 为向量场a在M点的散度,记为diva(M) 由上面的流体例子可知道,如果diva(M)大于零,则称在M点处 有正源(源);如果diva(M)小于零,则称在M点处有负源(汇);如 果diva(M)=0,则称在M点处无源。如果在场中每一点都成立dva=0, 则称a为无源场
由上面的流体例子可知道，如果 a M )(div 大于零，则称在 M 点处 有正源（源）；如果 a M )(div 小于零，则称在 M 点处有负源 （ 汇 ）；如 果 a M )(div =0，则称在 M 点处无源。如果在场中每一点都成立 a = 0div ， 则称 a 为无源场 。 定义 14.5.1 设 a i jk (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) , (, ,) xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz =+ + ∈ Ω 是一个向量场， zyxRzyxQzyxP ),,(),,,(),,,( 在 Ω上具有连续偏导数 。 Σ 为场中的定向曲面，称曲面积分 d Σ Φ = ⋅ ∫∫ a S 为向量场 a沿指定侧通过曲面 Σ的通量 。 设 M 为这个场中任一点 。 称 M )()()( z R M y Q M x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 为向量场 a 在 M 点的散度，记为 a M )(div
定理1451a的散度是通量关于体积的变化率,即 a·dS diva(m)= lim y→Mm 换句话说,散度就是穿出单位体积边界的通量。 由向量场a产生的数量场diva称为散度场。 利用散度的记号, Gauss公式就可写成如下形式: divan=a·dS
定理 14.5.1 a的散度是通量关于体积的变化率，即 d div ( ) limM M mΣ → ⋅ = ∫∫ V a S a V 。 换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量。 由向量场a 产生的数量场diva称为散度场。 利用散度的记号，Gauss 公式就可写成如下形式： div d d V ∂ = ⋅ ∫∫∫ ∫∫ Ω Ω a aS
向量线 设 a(x, y, z)=P(x,y,z)+Q(x, y, z)j+r(x,y, z)k 为向量场,/为g中的一条曲线。若/上的每一点处的切线方向都与 场向量在该点的方向一致,则称I为向量场a的向量线。静电场中的 电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子
向量线 设 a i jk (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) , (, ,) xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz =+ + ∈Ω 为向量场，Γ为Ω 中的一条曲线。若Γ上的每一点处的切线方向都与 场向量在该点的方向一致，则称Γ为向量场a 的向量线。静电场中的 电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子
设M(x,y,z)为向量线上任一点,则其矢量方程为 r=xi+yj+=k, 那么 dr= dxi +dvi+dzk 就是向量线在M点处的切向量。由定义,它与在M点处的场向量共 线,因此 dy dz P(x, y,z)o(x,y, 2) R(x, 这就是向量线所满足的方程,如果解出它的话,一般就得到向量线族 如果再利用过M点这个条件,就得到过M点的向量线。一般来说, 向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它,向量线族充满了向 量场所在的空间
设 M(, ,) x y z 为向量线上任一点，则其矢量方程为 = + + zyx kjir ， 那么 dd d d r i = x y + +j zk 就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共 线，因此 ddd (, ,) (, ,) (, ,) xyz P x y z Qx y z Rx y z = = 。 这就是向量线所满足的方程，如果解出它的话，一般就得到向量线族。 如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说， 向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向 量场所在的空间
例14.5.1由电磁学中的 Coulomb定律,在位于原点的点电荷q (这里q表示电荷大小)所产生的静电场中,任何一点M(x,y,2)处的 电场强度为 E 4兀E。r 其中r=√x2+y2+2为点M到原点的距离,r=x+y+zk,60为真空 介电常数
例 14.5.1 由电磁学中的 Coulomb 定律，在位于原点的点电荷q （这里q 表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点 M(,,) x y z 处的 电场强度为 3 0 4π q ε r E = r ， 其中 222 ++= zyxr 为点 M 到原点的距离， = + + zyx kjir ，ε 0为真空 介电常数