§2重积分的性质与计算 重积分的性质 性质1(线性性)设∫和g都在区域!上可积,a,B为常数,则 +在?上也可积,并且 ∫(af+/8ld=a∫fd+f∫gd。 性质2(区域可加性)设区域g被分成两个内点不相交的区域 21和!2,如果∫在Ω上可积,则∫在1和2上都可积;反之,如 果f在21和2上可积,则∫也在息上可积。此时成立 fdv= fdv+I fdv
重积分的性质 性质 1（线性性）设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，α, β 为常数，则 α + βgf 在 Ω 上也可积，并且 ( )d α β f + g V ∫ Ω =α f dV ∫ Ω + β g Vd ∫ Ω 。 性质 2（区域可加性） 设区域 Ω 被分成两个内点不相交的区域 Ω1和 Ω2，如果 f 在 Ω 上可积，则 f 在 Ω1和 Ω2上都可积；反之，如 果 f 在 Ω1和 Ω2上可积，则 f 也在 Ω 上可积。此时成立 f dV ∫ Ω 1 = f dV ∫ Ω + 2 f dV ∫ Ω 。 §2 重积分的性质与计算
性质3设被积函数∫=1。当n=2时 ∫ jd.xdy=J∫1dxdy=9的面积 当n≥3时 ∫dr=jldr=9的体积。 性质4(保序性)设∫和g都在区域!上可积,且满足∫≤g 则成立不等式 fdV≤lgdV
性质 3 设被积函数 f ≡ 1。当n = 2时 d dx y ∫∫ Ω = 1d dx y = ∫∫ Ω Ω 的面积； 当n ≥ 3时 dV ∫ Ω = 1dV = ∫ Ω Ω 的体积。 性质 4 （保序性） 设 f 和g 都在区域 Ω 上可积，且满足 f ≤ g ， 则成立不等式 f dV ≤ ∫ Ω g Vd ∫ Ω
性质5设f在区域上可积,M与m分别为f在上的上确界 和下确界,则成立不等式 ms|fd≤MV, 其中V当n=2时为Ω的面积,当n>2时为的体积 性质5是性质4的直接推论。 性质6(绝对可积性)设∫在区域旦上可积,则∫也在上可 积,且成立不等式 ∫fdr|s∫fd?
性质 5 设 f 在区域 Ω 上可积， M 与m分别为 f 在 Ω 上的上确界 和下确界，则成立不等式 m V ≤ f dV ≤ ∫ Ω M V ， 其中V 当n = 2时为 Ω 的面积，当n > 2时为 Ω 的体积。 性质 5 是性质 4 的直接推论。 性质 6（绝对可积性） 设 f 在区域 Ω 上可积，则 f || 也在 Ω 上可 积，且成立不等式 | f dV ∫ Ω | ≤ | |d f ∫ Ω Ω
性质7(乘积可积性)设∫和g都在区域!上可积,则∫·g也 在g上可积。 性质8(积分中值定理)设f和g都在区域!2上可积,且g在g 上不变号。设M与m分别为∫在!上的上确界和下确界,则存在常数 u∈[m,M],使得 f·g dv=u g dy 特别地,如果∫在Ω上连续,则存在ξ∈,使得 ∫/gd=f(5)∫gdr
性质 7 （乘积可积性） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，则 f g⋅ 也 在 Ω 上可积。 性质 8（积分中值定理） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，且 g 在 Ω 上不变号。设 M 与m分别为 f 在 Ω 上的上确界和下确界，则存在常数 μ ∈ Mm ],[ ，使得 f ⋅ g Vd = ∫ Ω μ g Vd ∫ Ω 。 特别地，如果 f 在 Ω 上连续，则存在ξ ∈Ω，使得 f ⋅ g Vd = ∫ Ω f ξ )( g Vd ∫ Ω
矩形区域上的重积分计算 设D=[a,b]×,d是R2上的闭矩形,z=f(x,y)是D上的非负连续函 数,则以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积V正是二重积 分 f(x, y)dxd 用过(x,00)(a≤x≤b)点,且与2 yz平面平行的平面截这个曲顶柱 体,所得的截面是曲边梯形(见图 A(xb 132.1),其面积为 A(x)= f(r, y)dy b 图132.1
矩形区域上的重积分计算 设 D = × [, ] [, ] ab cd 是 2 R 上的闭矩形，z f xy = (,) 是 D上的非负连续函 数，则以 D为底、曲面z f xy = (,)为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重 积 分 f ( , )d d xy x y ∫∫ D 。 用过 x )0,0,( ≤ ≤ bxa )( 点，且与 yz 平面平行的平面截这个曲顶柱 体，所得的截面是曲边梯形（见图 13.2.1 ），其面积为 ∫ = d c d),()( yyxfxA 。 a x x b y z z = f (x, y ) O A (x ) 图13.2.1