§4微分形式的外微分 外微分 设UcR"为区域,f(x1,x2…x)为U上的可微函数,则它的全微 分为 这可以理解为一个0-形式作微分运算后成为1-形式
外微分 设 n U ⊂ R 为区域， fxx xn (, , , ) 1 2 " 为U 上的可微函数，则它的全微 分为 1 d d n i n i f f x = x ∂ = ∂ ∑ 。 这可以理解为一个 0-形式作微分运算后成为 1-形式。 §4 微分形式的外微分
现在将微分运算d推广到∧上去。对∧中的任意一个k-形式 ∑g1,(x)dxA 定义 1=∑(dg14-4(x)入dx4Ad2A…Adx <…<i1≤n ∑∑ 08 dx.a dx adx2A…^心w Isi<2<<,Sn i=l a x 同时,对空间A=A0+A+…+A上的任意一个元素 On,O,∈A 定义 dO=d+don+…+dono 这样的微分运算d称为外微分
现在将微分运算d 推广到Λk 上去。对 k Λ 中的任意一个 k-形式 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ( )d d d k k k ii i i i i ii i n ω g xx x x ≤< < < ≤ = ∧ ∑ " ∧ ∧ " " ， 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ,,, 1 1 d (d ( )) dd d dd d d k k k k k k ii i i i i ii i n n ii i ii i i i i i ni i g x xx x g xx x x x ω ≤< < < ≤ ≤< < < ≤ = = ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ = ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ ∑ ∑ ∑ " " " " " " 。 同时，对空间Λ = Λ + Λ + +Λ 0 1 " n 上的任意一个元素 i 10 " , ωωωωω in Λ∈+++= ， 定义 0 1 dd d d ω = ωω ω + ++ " n。 这样的微分运算d 称为外微分
显然,微分运算d:A→∧具有线性性,即d(ao+Bn)=ado+Bdn, 0,∈A,其中a,B为常数。 由定义可直接得到 d(dx^dx2…dx)=(dxdx2A…dx) (d)∧dx^dx,A…Adx=0
显然，微分运算d :Λ → Λ 具有线性性，即d( ) d d αω βη α ω β η + = + , ω,η ∈ Λ ，其中α,β 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k ii i ii i ii i xx x xx x xx x ∧ ∧∧ = ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ = " " "
显然,微分运算d:A→A具有线性性,即d(ao+Bn)=ado+Bdn, 0,∈A,其中a,B为常数。 由定义可直接得到 d(dx^dx2…dx)=(dxdx2A…dx) (d1)∧dxdx2∧…∧dx 例144.1设O=P(x,y)dx+Q(x,y)减y为R2上的1-形式,则 aP aP 0Q,0Q do=(dp)adx+(do)ady=dx+ody adx+dx dy∧d ax a ax a P dy Adx+ogdxadv= og_aP ax ax a y
例 14.4.1 设ω = P( , )d ( , )d xy x Qxy y + 为 2 R 上的 1-形式，则 d (d ) d (d ) d d d d d d d dd dd d d PP QQ P xQy x y x x y y xy xy P Q QP yx xy x y y x xy ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ = ∧+ ∧= + ∧+ + ∧ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = ∧+ ∧= − ∧ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 。 显然，微分运算d :Λ → Λ 具有线性性，即d( ) d d αω βη α ω β η + = + , ω,η ∈ Λ ，其中α,β 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k ii i ii i ii i xx x xx x xx x ∧ ∧∧ = ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ = " " "
例144.2设O=P(x,y,)dx+Q(x,y,z)y+R(x,y,)d为R3上的1-形 式,则 do=(dP)dx+(dQ)∧dy+(dR)∧d aP.apaP dy+=dz adx ∧d ax ay az OROR aR dx+ dy+=dz la dz ax az OR aO aP aR a0 aP dy∧dz dz∧dx+ dx∧dy az ax Ox y
例 14.4.2 设 ω = P( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz x Qxyz y Rxyz z + + 为 3 R 上的 1- 形 式，则 d (d ) d (d ) d (d ) d ω = ∧+ ∧+ ∧ P xQyRz d d dd d d dd d d dd dd dd dd PPP QQQ x y zx x y zy xyz xyz RRR x y zz xyz RQ PR QP yz zx xy yz zx xy ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂∂∂ ⎛ ⎞ = + + ∧+ + + ∧ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂∂∂ + ++ ∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = − ∧+ − ∧+ − ∧ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂∂