第十四章曲线积分、曲面积分与场论 §1第一类曲线积分与第一类曲面积分 第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线L上任一点(x,y,2)处的线密度为 p(x,y2)。将L分成n个小曲线段L(=12,…,n),并在L上任取一点 (5,n,),那么当每个L的长度Δs都很小时,L的质量就近似地等于 p(5,n)As,于是整条L的质量就近似地等于 ∑(51,n,5)As, 当对L的分割越来越细时,这个近似值的极限就是L的质量
第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线 L 上任一点 (, ,) x y z 处的线密度为 ρ (, ,) x y z 。将 L 分成 n 个小曲线段 Li = ",,2,1( ni ），并在 Li 上任取一点 ),,(ξ η ζ iii ，那么当每个Li的长度Δ si 都很小时，Li的质量就近似地等于 iiii ρ ξ η ζ ),,( Δs ，于是整条L的质量就近似地等于 ∑ = Δ n i iiii s 1 ζηξρ ),,( 。 当对L的分割越来越细时，这个近似值的极限就是L的质量。 §1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义14.1.1设L是空间R3上一条可求长的连续曲线,其端点 为A和B,函数f(x,y)在L上有界。令A=P,B=P1。在L上从A到B顺 序地插入分点P,P2…,P1,再分别在每个小弧段P1P上任取一点 (5,n),并记第个小弧段PP的长度为△S(i=12,…,n),作和式 ∑f(51,n,)△s 如果当所有小弧段的最大长度九趋于零时,这个和式的极限存在,且 极限值与分点{P}的取法及弧段PP上的点(,)的取法无关,则称 这个极限值为f(x,y,)在曲线L上的第一类曲线积分,记为 ∫/(x,yd或/(PAs。 「f(x,yd=1imC/(,n)A 其中f(x,y,)称为被积函数,L称为积分路径
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义 14.1.1 设 L是空间 3 R 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A 和 B ，函数 f xyz (, ,) 在 L上有界 。 令 = = PBPA n , 0 。 在 L上从 A 到 B 顺 序地插入分点 21 1 ,,, " PPP n − ，再分别在每个小弧段 −1PP ii 上任取一点 ),,(ξ η ζ iii ,并记第i 个小弧段 −1PP ii 的长度为 Δ si（ = ",,2,1 ni ），作和式 ∑= Δ n i iiii f s 1 ζηξ ),,( 。 如果当所有小弧段的最大长度 λ 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点 }{Pi 的取法及弧段 −1PP ii 上的点 ),,(ξ η ζ iii 的取法无关，则称 这个极限值为 f xyz (, ,)在曲线 L上的第一类曲线积分，记为 ( , , )d L f xyz s ∫ 或 ( )d L f P s ∫ 。 即 0 1 ( , , )d lim ( , , ) n iii i L i f x y z s f s λ ξηζ → = = ∑ Δ ∫ 。 其中 f xyz (, ,)称为被积函数，L称为积分路径
这样,本节一开始所要求的曲线L质量就可表为 M=p(x,y, z)d 在平面情形下,函数f(x,y)在平面曲线L上的第一类曲线积分记 为∫(xyds
这样，本节一开始所要求的曲线 L质量就可表为 ( , , )d L M = ρ xyz s ∫ 。 在平面情形下，函数 yxf ),( 在平面曲线 L上的第一类曲线积分 记 为 ( , )d L f xy s ∫
第一类曲线积分具有以下性质 性质1(线性性)如果函数f,g在L上的第一类曲线积分存在 则对于任何常数a,B,af+Bg在L上的第一类曲线积分也存在,且成 ∫(af+Bg)d=a」/s+」gds 性质2(路径可加性)设曲线L分成了两段L1,L2。如果函数f在 L上的第一类曲线积分存在,则它在L和L2上的第一类曲线积分也存 在。反之,如果函数∫在L和L2上的第一类曲线积分存在,则它在L上 的第一类曲线积分也存在。并成立 fGs=「fds+「fs L2
第一类曲线积分具有以下性质： 性质 1 （线性性 ）如果函数 f g, 在 L上的第一类曲线积分存在， 则对于任何常数 α, β ，α + β gf 在 L上的第一类曲线积分也存在，且成 立 ( )d d d L L L αβ α β f +=+ g s fs gs ∫ ∫ ∫ 。 性质 2 （路径可加性 ）设曲线 L分成了两段 1 2 L L , 。如果函数 f 在 L上的第一类曲线积分存在，则它在 L1和 L 2上的第一类曲线 积分也存 在。反之，如果函数 f 在 L1和 L 2上的第一类曲线积分存在，则它在 L 上 的第一类曲线积分也存在。并成立 1 2 ddd LLL fs fs fs = + ∫ ∫ ∫
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(),y=y(1)2z=x(1),a≤t≤B 其中x(1,y(1,-()具有连续导数,且x(,y(),z()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 x2(t)+y2()+z"(t)d
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L的方程为 x xt y yt z zt t = ( ), ( ), ( ), = = α ≤ ≤ β ， 其中 tztytx )(),(),( 具有连续导数， 且 ′ ′ ′ tztytx )(),(),( 不同时为零（即 L为光 滑曲线），那么 L是可求长的，且曲线的弧长为 2 22 s xt( ) ( ) ( )d y t ztt β α = ++ ′′′ ∫