§3Euer积分 Beta函数 形如 B(p, q 0中众 (1-x)d 的含参变量积分称为Beta函数,或第一类 Euler积分
Beta 函数 形如 1 1 1 0 B( , ) (1 ) d p q pq x x x − − = − ∫ 的含参变量积分称为 Beta 函数，或第一类 Euler 积分。 §3 Euler积分
§3 Euler积分 Beta函数 形如 B(p,q)=x-(1-x)-dx 的含参变量积分称为Beta函数,或第一类 Euler积分。 先讨论它的定义域。将Beta函数写成 B(, 9)=(d-x)dx+ x-(1-x)-dx, 当x→0时,x-(1-x)-~x-1,所以只有当p>0时右边第一个反常积 分收敛。而当x→1时,x-(1-x)-~(1-x)-1,所以只有当q>0时右边 第二个反常积分收敛。这说明了∫x(1-x)dx对于每对 (p,q)∈(0,∞)x(0,+∞)收敛,即Beta函数B(p,q)的定义域为 (0,+∞)(0,+∞)
先讨论它的定义域。将 Beta 函数写成 1 2 1 11 11 0 1 2 B( , ) (1 ) d (1 ) d pq pq p q x xx x xx −− −− = −+ − ∫ ∫ , 当 x → 0时， 1 1 )1( − − − p q xx ∼ p−1 x ，所以只有当 p > 0时右边第一个反常积 分收敛。而当x →1时， 1 1 )1( − − − p q xx ∼ 1 )1( − − q x ，所以只有当q > 0 时右边 第二个反常积分收敛。这说明了 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 对于每 对 qp ∈ +∞×+∞ ),0(),0(),( 收敛，即 Beta 函 数 B( , ) p q 的定义域为 +∞ × +∞),0(),0( 。 Beta 函数 形如 1 1 1 0 B( , ) (1 ) d p q pq x x x − − = − ∫ 的含参变量积分称为 Beta 函数，或第一类 Euler 积分。 §3 Euler积分
Beta函数的性质 连续性:BP,q在(0+∞)×(0.+∞)上连续。 证对于任意固定的p>0,q0>0,当p>p,q>q时, s xPo-l (1-x),0≤x≤1, 而∫x~-(1-xy-dx收敛,由 Weierstrass #J法,Jx2(-xydx关于pq 在[n,+∞)×9+)上一致收敛,从而Bpq)=「x2(-xydx在 Ip0,+∞)×[q0,+∞)上连续 由p>0,q0>0的任意性得知B(p,q)在(0,+∞)×(0,+∞)上连续
Beta 函数的性质 1．连续性：B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续。 证 对于任意固定的 0,0 0 qp 0 >> ，当 0 0 , >> qqpp 时， 1 1 1 1 0 0 )1()1( − − − − −≤− p q p q xxxx ， ≤ x ≤ 10 ， 而 0 0 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法，1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 关于 p, q 在 ),[),[ 0 +∞ qp 0 +∞× 上一致收敛，从而 B( , ) p q = 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 在 ),[),[ 0 +∞ × qp 0 +∞ 上连续。 由 0,0 0 qp 0 >> 的任意性得知B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续
Beta函数的性质 1.连续性:B(Pq)在(0+∞)x(0,+∞)上连续。 证对于任意固定的p0>0,q0>0,当p>p0,q>q时, s xPo-l (1-x),0≤x≤1, 而∫x~-(1-xy-dx收敛,由 Weierstrass #J法,Jx(-xydx关于pq 在[n,+∞)×9+)上一致收敛,从而Bpq)=「x2(-xydx在 Ip0,+∞)×[q0,+∞)上连续 由p>0,q0>0的任意性得知B(p,q)在(0,+∞)×(0,+∞)上连续 2.对称性:B(p,q)=B(q,p),p>0,q>0。 证作变换x=1-t就得到 B(p, q 0p-11-x) (1-)rdt=B(q,p)
2．对称性：B( , ) B( , ) p q qp = ， qp >> 0,0 。 证 作变换 = 1− tx 就得到 1 1 1 1 11 0 0 B( , ) (1 ) d (1 ) d B( , ) p q pq p q x x x t t t qp − − −− = − =− = ∫ ∫ 。 Beta 函数的性质 1．连续性：B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续。 证 对于任意固定的 0,0 0 qp 0 >> ，当 0 0 , >> qqpp 时， 1 1 1 1 0 0 )1()1( − − − − −≤− p q p q xxxx ， ≤ x ≤ 10 ， 而 0 0 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法，1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 关于 p, q 在 ),[),[ 0 +∞ qp 0 +∞× 上一致收敛，从而 B( , ) p q = 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 在 ),[),[ 0 +∞ × qp 0 +∞ 上连续。 由 0,0 0 qp 0 >> 的任意性得知B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续
3.递推公式:B(nq)=4,Bnq-1),p>0.q>1。 p+g 证利用分部积分法得到 B(p,q)=-(1-x)d x"(1-x)-dx P (1-x)y q-B(P,q 1) q B(p, q P 移项整理后就得到递推公式 由B(pq)的对称性并结合递推公式可得到当p>1,qx1时,成立 B(p, q p-1)q-1) B(p-1,q-1) (p+q-1)(p+q-2)
3．递推公式： 1 B( , ) B( , 1) 1 q p q p q p q − = − + − ， qp >> 1,0 。 证 利用分部积分法得到 1 1 1 11 2 0 0 0 1 1 12 11 0 0 11 1 B( , ) (1 ) d (1 ) (1 ) d 1 (1 ) d (1 ) d 1 1 B( , 1) B( , ). qp p q p q pq pq q p q xx x x x xx pp p q x xxx xx p q q p q p q p p −− − −− −− − = − = −+ − − ⎡ ⎤ = −− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − = −− ∫ ∫ ∫ ∫ 移项整理后就得到递推公式。 由B( , ) p q 的对称性并结合递推公式可得到当 qp >> 1,1 时，成立 ( 1)( 1) B( , ) B( 1, 1) ( 1)( 2) p q p q p q pq pq − − = − − +− +−