第十六章 Fourier级数 §1函数的 Fourier级数展开 人们最熟悉的简单函数无非两类:幂函数和三角函数。英国数学 家 Taylor在18世纪初找到了用幂函数的(无限)线性组合表示一般 函数f(x)的方法,即通过 Taylor展开将函数化成幂级数形式 f(x)=∑ (x-x0 l! 经过理论上的完善之后,它很快成为了微分学(乃至整个函数论) 的重要工具之
第十六章 Fourier 级数 人们最熟悉的简单函数无非两类：幂函数和三角函数。英国数学 家 Taylor 在 18 世纪初找到了用幂函数的（无限）线性组合表示一般 函数 f x( )的方法，即通过 Taylor 展开将函数化成幂级数形式 ∑ ∞ = = − 0 0 0 )( )( ! )( )( n n n xx n xf xf ， 经过理论上的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论） 的重要工具之一。 §1 函数的Fourier级数展开
但是,函数的 Taylor展开在应用中有一定的局限性。首先在实际 问题中总是(也只能)使用 Taylor级数的部分和,即∫(x)的n次 Taylor 多项式 P(x)=/(n)+f(xx=<(x(x)2+…+m(x-x) (n (x 来近似地代替函数f(x),这时候它要求f(x)有至少n阶的导数,这是 条件比较苛刻的条件;同时,一般来说 Taylor多项式仅在点x附近 与f(x)吻合得较为理想,也就是说,它只有局部性质。为此有必要寻 找函数的新的级数展开方法
但是，函数的 Taylor 展开在应用中有一定的局限性。首先在实际 问题中总是（也只能）使用 Taylor 级数的部分和，即 f x( )的n次 Taylor 多项式 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP )( ! )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 ++− − ′′ += ′ +− " 来近似地代替函数 xf )( ，这时候它要求 f x( )有至少n阶的导数，这是 一条件比较苛刻的条件；同时，一般来说 Taylor 多项式仅在点x0 附近 与 f x( )吻合得较为理想，也就是说，它只有局部性质。为此有必要寻 找函数的新的级数展开方法
形如 +∑( a. cos nx+ b sin nx) 2 mI 的函数项级数称为三角级数,其中an,an和b(n=12,…)为常数。 19世纪初,法国数学家和工程师 Fourier在研究热传导问题时, 找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数f(x)的方法,即把f(x) 展开成所谓的 Fourier级数
形如 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin ) 的函数项级数称为三角级数，其中a0，an和bn（n = ,2,1 "）为常数。 19 世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时， 找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 f x( )的方法，即把 f x( ) 展开成所谓的 Fourier 级数
与 Taylor展开相比, Fourier展开对于f(x)的要求要宽容得多, 并且它的部分和在整个区间都与f(x)吻合得较为理想。因此, Fourier 级数是比 Taylor级数更有力适用性更广泛的工具,它在声学、光学 热力学、电学等研究领域极有价值,在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说, Fourier级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位
与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 f x( )的要求要宽容得多， 并且它的部分和在整个区间都与 f x( )吻合得较为理想。因此，Fourier 级数是比 Taylor 级数更有力、适用性更广泛的工具，它在声学、光学、 热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位
与 Taylor展开相比, Fourier展开对于f(x)的要求要宽容得多, 并且它的部分和在整个区间都与f(x)吻合得较为理想。因此, Fourier 级数是比 Taylor级数更有力适用性更广泛的工具,它在声学、光学 热力学、电学等研究领域极有价值,在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说, Fourier级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位。 以下介绍有关 Fourier级数的一些基本知识与内容: 如何将一个给定的函数f(x)展开为 Fourier级数(称为 Fourier 展开); > Fourier级数的收敛条件; Fourier级数的性质及某些相关问题
以下介绍有关 Fourier 级数的一些基本知识与内容： ¾ 如何将一个给定的函数 f x( )展开为 Fourier 级数（称为 Fourier 展开）； ¾ Fourier 级数的收敛条件； ¾ Fourier 级数的性质及某些相关问题。 与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 f x( )的要求要宽容得多， 并且它的部分和在整个区间都与 f x( )吻合得较为理想。因此，Fourier 级数是比 Taylor 级数更有力、适用性更广泛的工具，它在声学、光学、 热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位