通量与散度 设Ω2上稳定流动的不可压缩流体(假定其密度为1)的速度场为 v=v(x, y, =)i+v, (x,y, 2)j+v(x, y, z)k, 其中v,vn,v:具有连续偏导数。设是是2中的一片定向曲面,则单位时 内通过∑流向指定侧的流量为 B=[V,(x, ,=dyds +v, (x, 3)dedx +v (x, ), )drdy =[v nds=[vds 其中n= coS aI+ cos Bi+ cork为在(x,y,x)处的、在指定侧的单位法向 量
通量与散度 设Ω上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为 v = x i + y j + z zyxvzyxvzyxv ),,(),,(),,( k ， 其中 zyx ,, vvv 具有连续偏导数。设Σ是Ω中的一片定向曲面，则单位时 间内通过Σ流向指定侧的流量为 ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d d xyz v xyz yz v xyz zx v xyz xy S Σ Σ Φ = ++= ⋅ ∫∫ ∫∫ v n d Σ = ⋅ ∫∫ v S， 其中 = α + β + coscoscos γ kjin 为Σ在(,,) x y z 处的、在指定侧的单位法向 量
显然,Φ>0说明向指定侧穿过曲面Σ的流量多于向相反方向穿 过曲面E的流量;φ<0说明向指定侧穿过曲面∑的流量少于向相反 方向穿过曲面Σ的流量;Φ=0说明向指定侧穿过曲面∑的流量等于 向相反方向穿过曲面∑的流量。 如果Σ为一张封闭曲面,定向为外侧。那么Φ>0说明从曲面内 的流出量大于流入量,此时在Σ内必有产生流体的源头(源);φ<0 说明从曲面内的流出量小于流入量,此时在Σ内必有排泄流体的漏 洞(汇)
显然，Φ > 0说明向指定侧穿过曲面Σ 的流量多于向相反方向穿 过曲面Σ 的流量；Φ < 0说明向指定侧穿过曲面Σ 的流量少于向相反 方向穿过曲面Σ 的流量；Φ = 0说明向指定侧穿过曲面Σ 的流量等于 向相反方向穿过曲面Σ 的流量。 如果Σ 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么Φ > 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在Σ 内必有产生流体的源头（源）；Φ < 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在Σ 内必有排泄流体的漏 洞（汇）
要判断场中一点M(x,y,z)是否为源或汇,以及源的“强弱”或汇 的“大小”,可以作一张包含M的封闭曲面∑(定向为外侧),考察∑ 所围区域收缩到M点时(记为F→M),=』vds的值。但因为 →M时有Φ→>0,所以考虑 v·dS lim lim V→Mm V→MmV (mV为v的体积)。由 Gauss公式,并利用积分中值定理, d=νdS v, dydz +v, dzdx+v. dxdy v dxdydz= m ax ay az ax a y az M 其中M为V上某一点
要判断场中一点 zyxM ),,( 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇 的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面Σ （定向为外侧），考察Σ 所围区域V收缩到 M 点时（记为V → M ）， d Σ Φ = ⋅ ∫∫ v S 的值。但因为 V → M 时有Φ →0，所以考虑 d lim lim M M m m Φ Σ → → ⋅ = ∫∫ V V v S V V （mV 为V 的体积）。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理， d dd dd dd ddd xyz x x y y z z M v yz v zx v xy v v v v v v xyz m xyz xyz Σ Σ Φ = ⋅= + + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ++ = ++ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂∂∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ 。 V v S V 其中 ~M 为V 上某一点
于是 av ov. a (x,y),O",(x,y2 v(x,V,二 Im lim MmVM→M( Ox ay az a y az 因此,可以用 n,(x,y,=),O,(x,y,z) Ov (x, y, 3) av 来判别场中的点是源还是汇,以及源的“强弱”或汇的“大小
于是 (, ,) (, ,) (, ,) lim lim x x y y z z M M M M v v v v v v x y z x y z x y z m xyz x y z Φ → → ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ++ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ V V 。 因此，可以用 z zyxv y zyxv x zyxvx y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ),,( ),,( ),,( 来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”
定义14.5.1设 a(x,y, z)=P(x,y, =)i+o(x,y,2j+R(x,y,z k Q 是一个向量场,P(x,y),Q(x,y,),R(x,y,)在Ω上具有连续偏导数。∑ 为场中的定向曲面,称曲面积分 a·dS 为向量场a沿指定侧通过曲面z通量。 设M为这个场中任一点。称 aP aR (M)+(M) y 为向量场a在M点的散度,记为diva(M)
定义 14.5.1 设 a i jk (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) , (, ,) xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz =+ + ∈Ω 是一个向量场， zyxRzyxQzyxP ),,(),,,(),,,( 在Ω上具有连续偏导数。Σ 为场中的定向曲面，称曲面积分 d Σ Φ = ⋅ ∫∫ a S 为向量场a 沿指定侧通过曲面Σ的通量。 设 M 为这个场中任一点。称 M )()()( z R M y Q M x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 为向量场a 在 M 点的散度，记为 a M )(div