§5场论初步 在实际应用中,常常需要考察某种物理量(如温度,密度,电场 强度,力,速度等)在空间的分布和变化规律,从数学和物理上看这 就是场的概念。 设2R3是一个区域,若在时刻t,Ω每一点(x,y,2)都有一个确 定的数值f(x,y,,1)(或确定的向量值∫(x,y,2,)与它对应,就称函数 ∫(x,y,z,)为Ω上的数量场(或向量场)。例如,某一区域上每一点的温 度确定了一个数量场,它称为温度场;而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场,它称为速度场,如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化,就称该场为稳定场;否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明,我们只考虑稳定场
在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场 强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这 就是 场的概念。 设 Ω 3 ⊂ R 是一个区域，若在时刻 t，Ω中每一点(,,) x y z 都有一个确 定的数值 f xyzt (, ,,)（或确定的向量值 f tzyx ),,,( ）与它对应，就称函数 f xyzt (, ,,) 为 Ω上的数量场（或向量场 ）。例如，某一区域上每一点的温 度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化，就称该场为稳定场；否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。 §5 场论初步
梯度 2上任何一个三元函数f(xy,都可以看成是2上的一个数量 场。设∫(x,y,x)在Ω上具有连续偏导数,则其梯度为 grad f=fi+f j+fk, 而且沿方向 l=cos(L, x)i+cos(, y)j+cos(L, z k 的方向导数可以表示为 01 grad f·l
梯度 Ω上任何一个三元函数 zyxf ),,( 都可以看成是Ω上的一个数量 场。设 f xyx (,,)在Ω上具有连续偏导数，则其梯度为 x y z grad f = ff f i jk + + ， 而且沿方向 = il + + zlylxl ),cos(),cos(),cos( kj 的方向导数可以表示为 f f l ∂ = ⋅ ∂ grad l
曲面 f(x,y,z)=c(常数) 称为/的等值面。若/,,不同时为零,那么n=f+fj+fk为 f+f+f 等值面上的一个单位法向量,并且有 af grad fl及 grad/s or
曲面 ),,( = czyxf （常数） 称为 f 的等值面。若 zyx ,, fff 不同时为零，那么 222 zyx zyx fff fff ++ + + = kji n 为 等值面上的一个单位法向量，并且有 f f n ∂ = ∂ grad 及 f f n∂ = ∂ grad n
曲面 f(x,y,z)=c(常数) 称为/的等值面。若,不同时为零,那么n=计+为 If +fy+f: 等值面上的一个单位法向量,并且有 af grad fl及 grad=Cr 这说明,∫在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同,这个法线方向就是f的方向导数取到最大值grad川的方向, 于是,沿着与梯度方向相同的方向,f的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向,∫的方向导数取到最小值-| gradf,于是,沿 着与梯度方向相反的方向,函数值减少最快
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值− grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。 曲面 ),,( = czyxf （常数） 称为 f 的等值面。若 zyx ,, fff 不同时为零，那么 222 zyx zyx fff fff ++ + + = kji n 为 等值面上的一个单位法向量，并且有 f f n ∂ = ∂ grad 及 f f n∂ = ∂ grad n
由数量场f产生的向量场grad′=fi+∫j+fk称为梯度场 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数z=f(x,y) 来表示,图145.1是等高线图,即f(xy)=c的图形。当雪融化时,由 于重力的作用,雪水会沿高度下降最快的方向,即- grad f方向流动, 溪流就是这样形成的。 图1451
由数量场 f 产生的向量场 x y z grad f f = i + + f j f k 称为梯度场。 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 = yxfz ),( 来表示，图 14.5.1 是等高线图，即 ),( = cyxf 的图形。当雪融化时，由 于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即−grad f 方向流动， 溪流就是这样形成的。 图14.5.1