§2 Fourier级数的收敛判别法 Dirichlet积分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般 的以2π为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→>∞时,它的 Fourier级数的部分和函数序列Sn(x)}, Sm(x)=+>(a, cos nx +b, sin nx) 是收敛于∫(x)的。下面从理论上来探讨这个问题
Dirichlet 积分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉：对于一般 的以2π为周期的函数 f x( )，除了个别点之外（看来是不连续点），当 m → ∞ 时，它的 Fourier 级数的部分和函数序列{ m xS )( }， 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m nn n a S x a nx b nx = =+ + ∑ ， 是收敛于 f x( )的。下面从理论上来探讨这个问题。 §2 Fourier级数的收敛判别法
将Euer- Fourier公式 f(t) nt dt, b f(tsin nt di T 代入Sn(x), 2兀 ∫0+2( n=1 ∫/0+smN-x)d n=1
将 Euler-Fourier 公式 a n = π π 1 ( )cos d π f t nt t ∫ − ，b n = π π 1 ( )sin d π f t nt t ∫ − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2 π f t t − = ∫ ( ) ( ) π π π π 1 1 ( ) cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = ⎡ ⎤ =+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t nt x t − = ⎡ ⎤ = +− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑
将Euer- Fourier公式 f(ocosnt dt, b f(tsin nt dt T 代入Sn(x), f(tdt+ 2兀 ∑( n=1 ∫/0+smN-x)d n=1 当θ≠0时,由三角函数的积化和差公式,有 2m+1 sIn -+>cosn0 sin 当θ=0时,将等式右端理解为当θ→0时的极限值,则等式依然成立。 因此,上式对任意∈[-兀都是正确的
当 θ ≠ 0时,由三角函数的积化和差公式，有 ∑= + + = m n m n 1 2 sin2 2 12 sin cos 2 1 θ θ θ 。 当 θ = 0时，将等式右端理解为当 θ → 0时的极限值，则等式依然成立。 因此，上式对任意 θ ∈[− π,π]都是正确的。 将 Euler-Fourier 公式 a n = π π 1 ( )cos d π f t nt t ∫ − ，b n = π π 1 ( )sin d π f t nt t ∫ − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2 π f t t − = ∫ ( ) ( ) π π π π 1 1 ( ) cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = ⎡ ⎤ =+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t nt x t − = ⎡ ⎤ = +− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑
于 2m+1 sIn (t-x) Sm(x)= f(t) 2 (作代换t-x=l) 2 sin 2 2m+1 2m+1 sin SIn f(x+u) du f(x+u) da l o 2 sin 2 SIn 2 这样,就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet积分,它是研究 Fourier级数敛散性的重要工具
于是 S x m ( ) π π 2 1 sin ( ) 1 2 ( ) d π 2sin 2 m t x f t t − t x + − = − ∫ (作代换t − x = u ) π π 2 1 sin 1 2 () d π 2sin 2 x x m u f xu u u − − − + = + ∫ ππ 2 1 sin 1 2 () d π 2sin 2 m u f xu u − u + = + ∫ 。 这样，就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet 积分，它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具
将积分区间[-ππ分成[-π,0和[,π,稍加整理,就得到了 Dirichlet积分的惯用形式 2m+1 sIn u Sm(x) If(x+u)+f(x-u)] du o 0 2: sin 由前面的三角函数关系式,有 2m+1 sin du snu du= 1 T ll 2 sin 2
将积分区间 [− π,π] 分成 [− π,0] 和 [0, π] ，稍加整理，就得到了 Dirichlet 积分的惯用形式 S x m ( ) π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( )] d π 2sin 2 m u fx u fx u u u + = ++ − ∫ 。 由前面的三角函数关系式，有 π 0 2 1 sin 2 2 d π 2sin 2 m u u u + = ∫ π 0 1 2 1 cos d 1 π 2 m n nu u = ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∑