§5偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系,设质点在时刻t位于点P(x(),y(,()处,即它在任一时刻 的坐标可用 x=x(t y=y(),a≤t≤b z=2t 来表示,随着t的连续变动,相应点(x,y,)的轨迹就是空间中的一条 曲线。 这种表达式称为空间曲线的参数方程,它也可以写成向量的形式 r()=x(1)i+y(1)j+2(1)k,a≤t≤b
空间曲线的切线和法平面 一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系，设质点在时刻 t位于点 tztytxP ))(),(),(( 处，即它在任一时刻 的坐标可用 bta tzz tyy txx ≤≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ),( ),( ),( 来表示，随着 t的连续变动，相应点 zyx ),,( 的轨迹就是空间中的一条 曲线。 这种表达式称为空间曲线的参数方程，它也可以写成向量的形式 = + + kjir ,)()()()( ≤≤ btatztytxt 。 §5 偏导数在几何中的应用
定义12.5.1若r()=x()+y()j+=(1)k在[ab上连续,并且 r()≠0,t∈[a,b],则称 r()=x(ti+y(t)j+x()k,a≤t≤b 所确定的空间曲线为光滑曲线。 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动
定义 12.5.1 若 ′ = ′ + ′ + ′ tztytxt )()()()( kjir 在 ba ],[ 上连续，并且 r′ ≠ 0 ∈ batt ],[,)( ，则称 = + + kjir ,)()()()( ≤ ≤ btatztytxt 所确定的空间曲线为光滑曲线。 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动
现在讨论光滑曲线厂上一点P(x(t0),y(n),z(10)处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同,即为割线的极限位置。 记x=x(1),y=y(t0)0=z(t)。取r上另一点P(x(,yV(),(1),则 过P和P的割线方程为 y-=yo x()-x(0)y(1)-y(t0)(1)-(t0) 将其改写为 y-yo x()-x(0)y()-y(t0)()-2(t0 再令t→>1,就得到曲线厂在P点的切线方程 x-o y-yo x'(to) y(to) 2(t
现在讨论光滑曲线Γ 上一点 ))(),(),(( 0000 tztytxP 处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。 记 )(),(),( 0 00 00 0 = = = tzztyytxx 。取Γ 上另一点 ))(),(),((1 tztytxP ，则 过P0 和P1的割线方程为 )()()()()()( 0 0 0 0 0 0 tztz zz tyty yy txtx xx − − = − − = − − 。 将其改写为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )()()()()()( tt tztz zz tt tyty yy tt txtx xx − − − = − − − = − − − ， 再令 0 → tt ，就得到曲线Γ 在P0点的切线方程 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx ′ − = ′ − = ′ −
注当x(t)≠0,y(n)≠0,=()=0时,这个公式应理解为 y-yo 2=2 当x()≠0,y()=0,x(xn)=0时,这个公式应理解为 y=yo 向量r(n)=(x(a),y(n),=(4)就是曲线r在P点的切线的一个方 向向量,也称为r在P点的切向量
注 当 0)(,0)(,0)(′ 0 ≠ ′ 0 ≠ ′ tztytx 0 = 时，这个公式应理解为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = ′ − = ′ − . , )()( 0 0 0 0 0 zz ty yy tx xx 当 0 00 xt yt zt ′′′ ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ≠ = = 时，这个公式应理解为 0 0 , . y y z z ⎧ = ⎨⎩ = 向量 ))(),(),(()( 0 0 00 r′ = ′ ′ ′ tztytxt 就是曲线Γ 在 P0 点的切线的一个方 向向量，也称为Γ 在P0点的切向量
过P点且与切线垂直的平面称为曲线r在P点的法平面。显然, 该法平面的一个法向量就是r在P点的切向量,因此曲线厂在P点的 法平面方程可写成 x'(t0(x-x)+y(o0)(y-y)+z(t0)(-20)=0, 或写成等价的向量形式 r'(t0)·(x-x)=0
过P0点且与切线垂直的平面称为曲线Γ 在P0点的法平面。显然， 该法平面的一个法向量就是Γ 在P0点的切向量，因此曲线Γ 在P0 点的 法平面方程可写成 0))(())(())((′ 0 − 0 + ′ 0 − 0 + ′ 0 − zztzyytyxxtx 0 = ， 或写成等价的向量形式 0)()(′ t0 ⋅ − xxr 0 =