§5微分形式 有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 f(yyf(u) a(x,) dudv T(D) o(u,v) 时已经指出,加了绝对值号的 Jacobi行列式(xy)的几何意义是xy平 () 面的面积微元dxdy与uv平面的面积微元dudv之间的比例系数。那么, 不加绝对值号的 Jacobi行列式(xy)的几何意义又是什么呢?一个顺 (u,v) 理成章的回答应该是,它代表带符号的面积微元之间的比例系数
有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 ( ) (, ) ( , )d d ( ( , ), ( , )) d d (,) T x y f x y x y f xuv yuv u v u v ∂ = ∂ ∫∫ ∫∫ D D 时已经指出，加了绝对值号的 Jacobi 行列式 ),( ),( vu yx ∂∂ 的几何意义是xy平 面的面积微元d dx y 与uv平面的面积微元d du v之间的比例系数。那么， 不加绝对值号的 Jacobi 行列式 ),( ),( vu yx ∂∂ 的几何意义又是什么呢？一个顺 理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。 §5 微分形式
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发, 给出一个定义有向面积的例子。 设a=(a1,a2),b=(b,b2)为平面R2上两个线性无关向量,Ⅱ为R2上 由向量a和b所张成的平行四边形,我们规定:如果从向量a出发在∏ 中旋转到b是逆时针方向(即a的方向,b的方向和指向读者的方向 成右手定则,见图13.5.1),这个平行四边形的面积为正,否则为负。 图13.51
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发， 给出一个定义有向面积的例子。 设 ),( a = aa 21 ， ),( b = bb 21 为平面 2 R 上两个线性无关向量，Π为 2 R 上 由向量 a 和 b 所张成的平行四边形，我们规定：如果从向量 a 出发在Π 中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向，b 的方向和指向读者的方向 成右手定则，见图 13.5.1），这个平行四边形的面积为正，否则为负。 b Π a 图 13.5.1
容易看出,二阶行列式2正是由a和b所张成的平行四边形 ∏的有向面积:由解析几何知道,它的绝对值就是Ⅱ在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 a=(r cos,, r sin 80), b=(r cos 62, r, sin 62), 若从a出发在Ⅱ中旋转到b是逆时针方向的,则有B<,<+兀,因 此 aa 1b b=i(cos 0, sin e2-sin 0, cosB2)=1i)sin(01-0>0 与∏的有向面积的符号规定一致。 若交换a和b的位置,即从a出发在∏中旋转到b是顺时针方向 的,则结果反号。 我们将这种运算称为向量a与b的外积,记为a入b,即 ∧
容易看出，二阶行列式 21 21 bb aa 正是由 a 和 b 所张成的平行四边形 Π的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是Π在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 )sin,cos(),sin,cos( θ θ 1111 θ θ 2222 = = rrbrra ， 若从 a 出发在Π中旋转到 b 是逆时针方向的，则有 121 θ < θ θ < + π，因 此 1 2 12 1 2 1 2 12 2 1 1 2 (cos sin sin cos ) sin( ) 0 a a r r r r b b = θ θ θ θ θθ − = −> ， 与Π的有向面积的符号规定一致。 若交换 a 和 b 的位置，即从 a 出发在Π中旋转到 b 是顺时针方向 的，则结果反号。 我们将这种运算称为向量 a 与 b 的外积，记为 a ∧ b，即 a ∧ b = 21 21 bb aa
易验证外积运算具有以下性质: (1)反称性 ab=-a入b,a.b∈R 由此立即得出 a入a=0,a∈R (2)双线性(分配律) a∧(b+c)=aAb+ a+b)∧C=a∧c+b∧C, b,c∈R2.A∈R (Aa)b=a∧(b)=A(a∧b)
易验证外积运算具有以下性质： （ 1） 反称性 a ∧ b = - a ∧ b，a, b ∈ 2 R , 由此立即得出 a ∧ a = 0， a ∈ 2 R 。 （ 2） 双线性（分配律） a ∧ (b + c) = a ∧ b + a ∧ c, (a + b ) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c, a, b, c ∈ 2 R , λ∈ R 。 ( λ a ) ∧ b = a ∧ ( λb ) = λ( a ∧ b )
例13.5.1设e,e2为R2上的一组基(不一定要求正交), m1=a1e1+a12e2 I,=a21e1+a22e 是R2中的任意两个向量,那么由外积的性质得到 a1∧a2=(a1e1+a12e2)^(a21+a2e2 ana2enetaua2e,ne,,Ae,tanabe, ne2 =a1(2e1^e2++a12a21e2∧e a1a2c1221)e1e2 e1∧
例 13.5.1 设 1 e ， 2 e 为 2 R 上的一组基（不一定要求正交）， 2221212 2121111 , eea eea aa aa += = + 是 2 R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到 ∧ aa 21 = ( 212111 + aa ee )∧ ( 222121 + aa ee ) = aa 2111 1 e ∧ 1 e + aa 2211 1 e ∧ 2 e + aa 2112 2 e ∧ 1 e + aa 2212 2 e ∧ 2 e = aa 2211 1 e ∧ 2 e ++ aa 2112 2 e ∧ 1 e =( aa 2211 - aa 2112 ) 1 e ∧ 2 e 2221 1211 aa aa = 1 e ∧ 2 e