§7条件极值问题与 Lagrange乘数法 Lagrange乘数法 在考虑函数的极值或最值问题时,经常需要对函数的自变量附加 定的条件。例如,求原点到直线 x+y+2= x+2y+3z=6 的距离,就是在限制条件x+y+z=1和x+2y+3z=6的情况下,计算函 数∫(x,y)=√x2+y2+2的最小值。这就是所谓的条件极值问题
Lagrange 乘数法 在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加 一定的条件。例如，求原点到直线 ⎩⎨⎧ =++ =++ 632 ,1zyx zyx 的距离，就是在限制条件 + + zyx = 1和 + + zyx = 632 的情况下，计算函 数 222 ),,( ++= zyxzyxf 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 §7 条件极值问题与Lagrange乘数法
以三元函数为例,条件极值问题的提法是:求目标函数 f(x, y, 2) 在约束条件 G(x,y,z)=0 H(x,y,z)=0 下的极值。 假定∫,F,G具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 GGG HH H 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rankJ=2
以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 zyxf ),,( 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0),,( ,0),,( zyxH zyxG 下的极值。 假定 ,, GFf 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx HHH GGG J 在满足约束条件的点处是满秩的，即 J = 2rank
先考虑条件极值点所满足的必要条件。上述约束条件可看成是空 间曲线的方程。设曲线上一点(x,yn=0)为条件极值点,由于在该点 rakJ=2,不妨假设在(xn,1,=)点aC,B≠0,则由隐函数存在定理, a(, 2) 在(x,υ,=)附近由该方程可以唯一确定 y=y(x),2=z(x), XEO(o, p) 它是曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数,原问题就转化为函数 p (x=f(x,y(x)=(x)), xEO(xo, p) 的无条件极值问题,x是函数Φ(x)的极值点,因此(x)=0,即 f(xn2y0,0)+f、(xNf(x,1,0 dz 0
先考虑条件极值点所满足的必要条件。上述约束条件可看成是 空 间曲线的方程。设曲线上一点 ),,( 000 zyx 为条件极值点，由于在该点 J = 2rank ，不妨假设在 ),,( 000 zyx 点 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ zy HG ，则由隐函数存在定理， 在 ),,( 000 zyx 附近由该方程可以唯一确定 ),(),(),( = = ∈ xOxxzzxyy 0 ρ （ )(),( 0 00 0 = = xzzxyy ）。 它是曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 0 Φ ( ) ( , ( ), ( )), ( , ) x f xyx zx x Ox = ∈ ρ 的无条件极值问题， 0 x 是函数 Φ ( ) x 的极值点，因此 0 Φ′()0 x = ，即 0 00 0 00 0 00 d d (, ,) (, ,) (, ,) 0 d d xy z y z fxyz fxyz fxyz x x + + =
这说明向量 gradf(xo, yo, 2o)=f(o,yo, =o)i+f,(o,yo =o)j+f(ro, yo, ro k 与向量r=[1出正交,即与曲线在(x,,)点的切向量正交,因 此 gradf(x0,yn,x0)可看作是曲线在(x0,y0,=0)点处的法平面上的向量。由 定理1251,这个法平面是由 grad(x0,y,x0)与 grad(xn,y,)张成的, 因此grad(xn,yn,=)可以由 grad(xn,y,=)和 grad(xyn,z)线性表出, 或者说,存在常数λn,山,使得 gradf(xo, yo, 2o)=no gradG(o, yo, 2o)+Ho grad(o, yo, =o) 这就是点(xn3y0,=)为条件极值点所满足的必要条件
这说明向量 0 00 0 00 0 00 0 00 (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) xy z gradf x y z = f x y z i + + f x y z j f x y z k 与向量 d d 1, , d d y z x x τ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 正交，即与曲线在 ),,( 000 zyx 点的切向量正交，因 此 0 00 gradf (, ,) xyz 可看作是曲线在 ),,( 000 zyx 点处的法平面上的向量。由 定理 12.5.1，这个法平面是由 0 00 gradGx y z (, ,) 与 0 00 gradHx y z (, ,)张成的， 因此 0 00 gradf (, ,) xyz 可以由 0 00 gradGx y z (, ,) 和 0 00 gradHx y z (, ,) 线性表出， 或者说，存在常数 00 λ ,μ ，使得 0 00 gradf (, ,) xyz =λ0 0 00 gradGx y z (, ,) + μ 0 0 00 gradHx y z (, ,)， 这就是点 ),,( 000 zyx 为条件极值点所满足的必要条件
将这个方程按分量写出就是 f2(x,y,=0)-A0G2(x0,y0,=0)-40H2(x0,yo,=0)=0 f(x0,y0,=0)-4G2(x0,y0,20)-0H,(x0,y=0)=0, f:(x0,y2=0)-A0G2(x0,y0,0)-10H2(x0,y0,0)=0 于是,如果构造 Lagrange函数 L(, y, z,n, u=f(x,y, 2)-nG(x, y, =)-uH(x,, 2) (λ,μ称为 Lagrange乘数),则条件极值点就在方程组 f2-G2-HHx2=0, fy -,-uHy L:=f:-1G2-HH2=0, G=0, H=0 的所有解(x,y,=0,40,)所对应的点(x0,y0,=0)中。用这种方法来求可 能的条件极值点的方法,称为 Lagrange乘数法
将这个方程按分量写出就是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = .0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( 00000000000 00000000000 00000000000 zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf z z z y y y x x x λ μ λ μ λ μ 于是，如果构造 Lagrange 函数 Lxyz f xyz Gxyz Hxyz (, ,, , ) (, ,) (, ,) (, ,) λ μ λμ = − − （ λ,μ 称为 Lagrange 乘数 ），则条件极值点就在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =−−= =−−= =−−= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 H G HGfL HGfL HGfL zzz z yy y y xx x x μλ μλ μλ 的所有解 ),,,,( λ μ 00000 zyx 所对应的点 ),,( 000 zyx 中。用这种方法来求 可 能的条件极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法