第十三章重积分 §1有界闭区域上的重积分 面积 在一元定积分中已经学过计算曲边梯形等平面图形的面积,但是 并不能将其简单照搬到一般的平面点集上,因为一般平面点集是否有 面积还是一个问题。为此,先引入面积的定义
面积 在一元定积分中已经学过计算曲边梯形等平面图形的面积，但是 并不能将其简单照搬到一般的平面点集上，因为一般平面点集是否有 面积还是一个问题。为此，先引入面积的定义。 第十三章 重积分 §1 有界闭区域上的重积分
设D为R2上的有界子集。设U=[a,b]×c,d为包含D的一个闭矩 形。在[an,b中插入分点 <x <x,=b; 在[c,d中插入分点 c=Vo <yI ym=d 过这些分点作平行于坐标轴的直线,将U分成许多小矩形 x21,x]×y=,y,i=1,2,…,j=12, 这称为U的一个划分(见图13.1.1)。 图131.1
设 D 为 2 R 上的有界子集。设 U= × dcba ],[],[ 为包含 D 的一个闭矩 形。在[,] a b 中插入分点 ax x x b = 0 1 < <"< n = ； 在[, ] c d 中插入分点 cy y y d = 0 1 < <"< m = ； 过这些分点作平行于坐标轴的直线，将U 分成许多小矩形 ,1 1 [ , ][ , ] ij i i j j x x y y U = − − × ， = " = ",,2,1;,,2,1 mjni ， 这称为 U 的一个划分（见图 13.1.1）。 D 图13.1.1
记完全包含于D内的那些小矩形的面积之和为mA,与D的交集 非空的那些小矩形的面积之和为mB,则显然有m4≤mB。 利用与讨论一元函数定积分的 Darboux和类似的方法容易证明: 若在原有划分的基础上,在[a,b和[cd中再增加有限个分点(所得的 新划分称为原来划分的加细),则mB不增,m4不减;且任意一种划 分所得到的mA不大于任意一种划分所得到的mB 这样,这些mA有一个上确界mD.,mB有一个下确界mD',并且 mD≤mD。 若mD.=mD',则称这个值为D的面积,记为mD,此时称D是可求 面积的
记完全包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为mA，与D的交集 非空的那些小矩形的面积之和为mB，则显然有 ≤ mBmA 。 利用与讨论一元函数定积分的 Darboux 和类似的方法容易证明： 若在原有划分的基础上，在 ba ],[ 和 dc ],[ 中再增加有限个分点（所得的 新划分称为原来划分的加细），则mB 不增，mA不减；且任意一种划 分所得到的mA不大于任意一种划分所得到的mB。 这样，这些mA有一个上确界mD*，mB 有一个下确界 * mD ，并且 * m m D D * ≤ 。 若 * m m D D * = ，则称这个值为 D 的面积，记为 mD ，此时称 D 是可求 面积的
同样可以考虑D的边界∂D的面积。记与D的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mBn,若所有mBn的下确界mD=0(此式蕴涵 mD.=0),则称∂D的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义,通过取加细的方法可以证明D是 可求面积的充分必要条件是:对于任意给定的E>0,存在U的一个 划分,使得 mB-mA(=mB0)<E。 所以有 定理1.1.1有界点集D是可求面积的充分必要条件是它的边界 D的面积为0
同样可以考虑 D 的边界∂ D 的面积。记与∂ D 的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mB∂D ，若所有mB∂D 的下确界 * m∂D = 0（此式蕴涵 * m∂D = 0），则称∂ D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是 可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的ε > 0，存在 U 的一个 划分，使得 − mAmB （= mB∂D ）< ε 。 所以有 定理 1.1.1 有界点集 D 是可求面积的充分必要条件是它的边界 ∂ D 的面积为 0
同样可以考虑D的边界∂D的面积。记与D的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mBn,若所有mBn的下确界mD=0(此式蕴涵 mD.=0),则称∂D的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义,通过取加细的方法可以证明D是 可求面积的充分必要条件是:对于任意给定的E>0,存在U的一个 划分,使得 mB-mA(=mB0)<E。 所以有 定理1.1.1有界点集D是可求面积的充分必要条件是它的边界 D的面积为0。 面积具有可加性,就是说,如果有界点集D由点集D1和D2组成, D1和D2可求面积,且D∩D2=⑧,那么D可求面积,并满足 mD=mD1+mD2
面积具有可加性,就是说，如果有界点集 D 由点集 D1 和 D 2 组成， D1 和 D 2 可求面积，且 1 2 = ∅ D D D D ∩ ，那么 D 可求面积，并满足 m D = mD1 + m D 2。 同样可以考虑 D 的边界 ∂ D 的面积。记与 ∂ D 的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mB∂D ，若所有mB ∂D 的下确界 * m ∂D = 0（此式蕴涵 * m ∂D = 0 ），则称 ∂ D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为 零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是 可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 ε > 0，存在 U 的一个 划分，使得 − mAmB （= mB ∂D ） < ε 。 所以有 定理 1.1.1 有界点集 D 是 可 求 面积的充 分 必要条 件是它的 边 界 ∂ D 的面积为 0