§4反常重积分 无界区域上的反常重积分 设D为平面R2上的无界区域,它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设D上的函数f(x,y)具有下述性质:它在D中有界的、可求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线为一条面积为零的曲线, 它将D割出一个有界子区域,记为D,并记 d(D)= infix2+y2(x,y)∈厂 为厂到原点的距离。 图1341
无界区域上的反常重积分 设 D为平面 2 R 上的无界区域，它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设 D上的函数 f xy (,) 具有下述性质：它在 D中有界的、可 求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线 Γ 为一条面积为零的曲线， 它将 D割出一个有界子区域，记为 DΓ ，并记 { } 2 2 d x y xy ( ) inf | ( , ) Γ =+ ∈ Γ 为 Γ 到原点的距离。 图 13.4.1 §4 反常重积分 D Γ D Γ
定义13.4.1若当4(门)趋于无穷大,即D趋于D时, ∫(x,ydy的极限存在,就称f(x,y)在D上可积,并记 f(x, y)dxdy= lim f(x, y)drd d(厂)→+∞ 这个极限值称为f(x,y)在D上的反常二重积分,这时也称反常二重积 分/(x,ydy收敛。如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积 分发散
定义 13.4.1 若当 d( ) Γ 趋于无穷大，即 DΓ 趋于 D 时， f ( , )d d x y x y Γ ∫∫ D 的极限存在，就称 f xy (,) 在 D 上可积，并记 ( ) ( , )d d lim ( , )d d d f x y x y f x y x y Γ Γ →+∞ = ∫∫ ∫∫ D D 。 这个极限值称为 f xy (,) 在 D上的反常二重积分，这时也称反常 二 重 积 分 f ( , )d d x y x y ∫∫ D 收敛 。如果右端的极限不存在，就称这一反常二重积 分发散
先考虑函数是非负的情况。 引理13.41设f(x,y)为无界区域D上的非负函数。如果{n}是 列曲线,它们割出的D的有界子区域{D}满足 D 及limd(rn)=+∞, n→0 则反常积分j(xy在D上收敛的充分必要条件是:数列 ∫/(x)d收敛。且在收敛时成立 「f(xy)dy=lm「/(xydy n→)0
先考虑函数是非负的情况。 引理 13.4.1 设 f xy (,) 为无界区域 D上的非负函数 。如果{ } Γ n 是 一列曲线，它们割出的 D的有界子区域{ } D n 满足 DD D 1 2 ⊂ ⊂⊂ ⊂ " " n ，及 lim ( ) n n d Γ →∞ = +∞， 则反常积分 f ( , )d d xy xy ∫∫ D 在 D上收敛的充分必要条件是：数列 ( , )d d n f xy xy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫∫ D 收敛。且在收敛时成立 f xy xy ( , )d d ∫∫ D lim ( , )d d n n f xy xy →∞ = ∫∫ D
证必要性是显然的。下面证明充分性。 如果/(xy)d收敛,记m(xy)y=1。现在证明 D im‖f(x,y)dxdy=lo d(厂)→+ 对于曲线F,令)=甲(2+y21(∈r由假设 imd(n)=+∞得知,当n充分大时,成立4(n)>p(D),因此由数列 ∫/(xy)d}的单调增加性得到 ∫(x, y)drdy s(xy)ddy≤/
证 必要性是显然的。下面证明充分性。 如果 ( , )d d n f xy xy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫∫ D 收敛，记lim ( , )d d n n f xy xy I →∞ = ∫∫ D 。现在证明 ( ) lim ( , )d d d f xy xy I Γ Γ →+∞ = ∫∫ D 。 对于曲线 Γ，令 ρ( ) Γ { } 2 2 =+ ∈ sup | ( , ) x y xy Γ 。由假设 lim ( ) n n d Γ →∞ = +∞得知，当 n充分大时，成立 ( ) () n d Γ > ρ Γ ，因此由数列 ( , )d d n f xy xy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫∫ D 的单调增加性得到 ( , )d d ( , )d d n f xy xy f xy xy I Γ ≤ ≤ ∫∫ ∫∫ D D
另一方面,由于数列A(xy收敛于/,对于任意正数, 存在正整数N,使得 f(, y)dxdy>I-8 因此当d()>p()时,有 12f(x, y)dxdy2f(,y)drdy 此即 im‖|f(x,y)dxdy=
另一方面，由于数列 ( , )d d n f x y x y ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ∫∫D 收敛于I ，对于任意正数ε ， 存在正整数N ，使得 ( , )d d N f xy xy I > −ε ∫∫ D 。 因此当 () ( ) N d Γ ρΓ > 时，有 ( , )d d ( , )d d N I f x y x y f x y x y I Γ ≥≥> −ε ∫∫ ∫∫ D D 。 此即 ( ) lim ( , )d d d f x y x y I Γ Γ →+∞ = ∫∫ D