§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为v平面上的开集,V是x平面上开集,映射 T: x=x(u,v), y=y(u, v) 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r:u=v(x,y),v=v(x,y) 在U中取直线u=4,就相应得到x平面上的一条曲线 x=x(uo, v),y=y(uo, v), 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的n-曲线, x=x(u,vo),y=y(u,vo)
曲线坐标 设U 为uv平面上的开集，V 是xy平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x uv y yuv = 是U 到V 的一个一一对应，它的逆变换记为T u uxy v vxy − = = 1: ( , ), ( , )。 在U 中取直线u u = 0，就相应得到xy平面上的一条曲线 x xu v y yu v = ( , ), ( , ) 0 0 = ， 称之为v -曲线；同样，取直线v v = 0 ，就相应得到xy平面上的u -曲线， x xuv y yuv = ( , ), ( , ) 0 0 = 。 §3 重积分的变量代换
§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为平面上的开集,V是x平面上开集,映射 T: x=x(u,v), y=y(u, v) 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r:u=(x,y),v=v(x,y) 在U中取直线u=4,就相应得到x平面上的一条曲线 x=x(uo, v),y=y(uo, v), 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的n-曲线, x=x(u,vo),y=y(u,vo) 由于映射T是一一对应的,因此V上的任意一点P既可以唯一地 用(x,y)表示,也可以唯一地用(v)表示。我们称u-曲线和v-曲线构 成了曲线坐标网,称(v,)为P的曲线坐标,而称T为坐标变换
由于映射T 是一一对应的，因此V 上的任意一点P 既可以唯一地 用(,) x y 表示，也可以唯一地用(,) u v 表示。我们称u -曲线和v -曲线构 成了曲线坐标网，称(,) u v 为P 的曲线坐标，而称T 为坐标变换。 §3 重积分的变量代换 曲线坐标 设U 为uv平面上的开集，V 是xy平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x uv y yuv = 是U 到V 的一个一一对应，它的逆变换记为T u uxy v vxy − = = 1: ( , ), ( , )。 在U 中取直线u u = 0，就相应得到xy平面上的一条曲线 x xu v y yu v = ( , ), ( , ) 0 0 = ， 称之为v -曲线；同样，取直线v v = 0 ，就相应得到xy平面上的u -曲线， x xuv y yuv = ( , ), ( , ) 0 0 =
例如,在映射T:x=rcos,y=rsin下,θ-曲线是一族以原点 为圆心的同心圆,r-曲线是一族从原点出发的半射线,它们构成平 面上的极坐标网。(r,θ)为点P(x,y)的极坐标,T即为极坐标变换。 l曲线 u=u y-曲线 图13.3.1
例如，在映射T ： xr yr = cos , sin θ = θ 下，θ -曲线是一族以原点 为圆心的同心圆，r -曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平 面上的极坐标网。 r θ ),( 为点P (,) x y 的极坐标，T 即为极坐标变换。 v u u = 0 v v = 0 O u y u-曲线 v-曲线 O x 图 13.3.1
二重积分的变量代换 假设x=x(x),y=y(x)具有连续偏导数,且有xy)≠0,则由 (,v) 连续性可知xy在U上不变号。因此,对U中任意具有分段光滑边 界的有界闭区域D,记它的像为E=T(D)cV,则D的内点和边界分另 被映为E的内点和边界,同时,由于连通集的像也连通,所以E=T(D) 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下,有如下的二 重积分的变量代换公式
二重积分的变量代换 假设x = x( , ), ( , ) u v y = y u v 具有连续偏导数，且有 ),( ),( vu yx ∂∂ ≠ 0，则由 连续性可知 ),( ),( vu yx ∂∂ 在U 上不变号。因此，对U 中任意具有分段光滑边 界的有界闭区域D，记它的像为E = T( ) D ⊂V ，则D的内点和边界分别 被映为E 的内点和边界，同时，由于连通集的像也连通，所以 E = T( ) D 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二 重积分的变量代换公式
定理13.3.1(二重积分变量代换公式)映射T和区域D如上假 设。如果二元函数∫(xy)在T(D)上连续,则 ∫f(x,y)dxdy-/(x()y) la(x, y2dudv 显然,当f(xy)≡1时,由以上定理得 jyd=m7D)(即TD的面积 (l,v)
定理 13.3.1(二重积分变量代换公式) 映射 T 和区域 D如上假 设。如果二元函数 yxf ),( 在 T( ) D 上连续，则 ( ) (, ) ( , )d d ( ( , ), ( , )) d d (,) T x y f x y x y f xuv yuv u v u v ∂ = ∂ ∫∫ ∫∫ D D 。 显然，当 yxf ),( ≡ 1 时，由以上定理得 (, ) d d (,) x y u v u v ∂ ∂ ∫∫ D = mT( ) D (即 T( ) D 的面积)