§3 Fourier级数的性质 Fourier级数的分析性质 为简单起见,假定f(x)的周期为2π 首先,利用 Riemann引理可以直接得出 定理16.3.1设f(x)在[兀上可积或绝对可积,则对于f(x)的 Fourier系数a与b,有 lim an 0, limb.=0 n→0 n→0
Fourier 级数的分析性质 为简单起见，假定 f x( )的周期为2π。 首先，利用 Riemann 引理可以直接得出 定理 16.3.1 设 f x( )在[−π,π]上可积或绝对可积，则对于 f x( )的 Fourier 系数an与bn，有 = 0lim ∞→ n n a ， = 0lim ∞→ n n b 。 §3 Fourier级数的性质
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[-兀上 可积或绝对可积 x) +2(a, cos nx+ b sin nx), 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-π,π], ∫/(dt=J"ydr+∫! (a, cosnt+snm)dt
定理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f x( )在[−π,π]上 可积或绝对可积， f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 则 f x( )的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ ∈ −π,π]， ( )d x c ft t ∫ 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t ∞ = =+ + ∫ ∫ ∑
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[兀上 可积或绝对可积 f(x)o+2(a, cos nx+b, sin nx), n=1 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-π,π], ∫oxd="ydt+∫! (a,cos nt+snm)dt 证这里仅对f(x)在[兀x上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明
证 这里仅对 f x( )在[−π,π]上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明。 定理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f x( )在[−π,π]上 可积或绝对可积， f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 则 f x( )的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ ∈ −π,π]， ( )d x c ft t ∫ 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t ∞ = =+ + ∫ ∫ ∑
考虑函数 FO X)= f(1)-0dt 由定理7.3.1可知F(x)是周期为2的连续函数,且在f(x)的连 续点,成立F(x)=f(x)-,而在f(x)的第一类不连续点,F(x)的两 个单侧导数 F(x)=f(x+) 都存在。由 Dini-Lipschitz判别法的推论,F(x)可展开为收敛的 Fourier 级数 FO Ao )=4+∑(A1 cos nx+B,sinx)
考虑函数 F x( ) = 0 () d 2 xc a f t t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 。 由定理 7.3.1 可知 F x( )是周期为2π 的连续函数，且在 f x( )的连 续点，成立 F x fx ′ = − a () () 02 ，而在 f x( )的第一类不连续点，F x( )的两 个单侧导数 xF )( ±′ = xf ±)( - 2a0 都存在。由Dini-Lipschitz 判别法的推论，F x( )可展开为收敛的Fourier 级数 F x( ) = A A nx B nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )
利用分部积分法,即有 sIn nx F(x)cos nxd x F(x) F(x)sin ndx a sin ndx 类似可得 n 于是 Ao cos nx +-sin nx
利用分部积分法，即有 An = π -π 1 ( ) cos d π F x nx x ∫ π π π -π 1 sin 1 ( ) ( )sin d π π nx F x Fx nx x n n − ⎡ ⎤ = − ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ π 0 π 1 ( ) sin d π 2 a f x nx x n − ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ = − bnn 。 类似可得 B a n n n = 。 于是 F x( ) = ∑ ∞ = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛−+ + 1 0 cos sin 2 n n n nx na nx n A b